第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形

第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形

【2013年高考会这样考】

1．考查相交弦定理，切割线定理的应用． 2．考查圆内接四边形的判定与性质定理． 【复习指导】

本讲复习时，紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理，重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能.

基础梳理

1．圆中的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 (1)PA·PB＝相交弦定理 弦AB、CD相交于圆内点P PC·PD； (2)△ACP∽ △DBP PA切⊙O于切割线定理 A，PBC是⊙O的割线 (1)PA2＝PB·PC； (2)△PAB∽△PCA (1)PA·PB＝割线定理 PAB、PCD是PC·PD； 应用 (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一； (2)求弦长及角 (1)已知PA、PB、PC知二可求一； (2)求解AB、AC (1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD； (2)应用相似求AC、BD ⊙O的割线 (2)△PAC∽△PDB 2.圆内接四边形 (1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形判定定理：

①如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；

②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．

双基自测

1．(2011·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交BC

于点P.若PB＝1，PD＝3，则AD的值为________．

BCPB1

△DAP，∴AD＝PD＝3. 1答案 3

解析 ∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽

2．(2011·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.

ADB＋∠BDC＝125°. 答案 125°

解析 连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠D＝∠

3．(2011·深圳调研)如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E为BD的中点，⊙O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝________.

解析 如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，

∴AE⊥BE，又E是 BD的中点， ∴∠BAE＝∠EAC， 从而E是BC的中点， ∴BE＝EC＝6，AB＝AC＝18，

由CD·CA＝CE·CB，得(18－AD)×18＝6×12，故AD＝14. 答案 14

4．(2011·广州模拟)如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________.

解析 ∵∠A＝∠DBC，∠D＝∠D， ADAB3∴△ABD∽△BCD，BD＝BC，解得BC＝2. 3答案 2

5．如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．

解析 由相交弦定理知， EA·EB＝EC·ED.(*)

又∵E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3， ∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE， ∴CE＝－4(舍去)或CE＝1.

∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5. 答案5

考向一 相交弦定理的应用

【例1】?(2011·广东实验中学质检)如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________．

[审题视点] 由勾股定理求AD，再由相交弦定理求DE.

解析 延长DO交圆O于另一点F，易知OD＝1，则AD＝AO2＋OD2＝5.由35相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即5·DE＝1×3，DE＝5. 答案

35

5 相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解题时要与

相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用 .

【训练1】 (2011·广东)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交2a

于AB的中点P，PD＝3，∠OAP＝30°，则CP＝________.

3AP29解析 依题AP＝PB＝2a，由PD·CP＝AP·PB，得CP＝PD＝8a. 9答案 8a

考向二 切割线定理的应用

【例2】?如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．