[审题视点] 由切割线定理知PA2＝PB·PC，可得直径BC的长，要求AD·AE，由△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的长即可． 解 如图所示，连接CE，∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，
∴PA2＝PB·PC.又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15. ∵PA切⊙O于A， ∴∠PAB＝∠ACP.
又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA. ABPA101∴CA＝PC＝20＝2.
∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°.
∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝65，AB＝35. 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB， ABAD∴△ACE∽△ADB，∴AE＝AC. ∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.
在圆中通过连接圆上的两点、作圆的切线等可以创造使用圆周角定理、
圆心角定理、弦切角定理的条件，这是在圆的问题上解决角之间关系的重要技巧．
【训练2】 如图，⊙O与⊙O′外切于P，两圆公切线AC，分别切⊙O、⊙O′于A、C两点，AB是⊙O的直径，BE是⊙O′的切线，E为切点，连AP、PC、BC. 求证：AP·BC＝BE·AC.
证明 由题意可知∠APC＝90°，连BP，则∠APB＝90°，∴B、P、C在同一直线上，即P点在BC上，由于AB⊥AC，易证Rt△APB∽Rt△CAB.
ABPB
∴CB＝AB，即AB2＝BP·BC，又由切割线定理，得BE2＝BP·BC，∴AB＝BE，又Rt△APB∽Rt△CAB，
ABAP
∴CB＝CA，即AP·BC＝AB·AC， ∴AP·BC＝BE·AC.
考向三 圆内接四边形性质的应用
【例3】?(2011·辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K. (1)求证：Q、H、K、P四点共圆； (2)求证：QT＝TS.
[审题视点] (1)利用∠PHQ＝∠PKQ＝90°； (2)先证∠HKS＝∠QSP，TS＝TK，再证TS＝QT.
证明 (1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆． (2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，① ∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径， ∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，② 而∠QSP＝∠QRH，③
由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，
又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.
(1)四边形ABCD的对角线交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶
点共圆．
(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．
以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．
【训练3】 如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H. 求证：(1)C，D，F，E四点共圆；
(2)GH2＝CE·GF.
证明 (1)如图，连接BC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠AEG.
又∠FDC＝∠ABC， ∴∠FDC＝∠AEG. ∴∠FDC＋∠CEF＝180°. ∴C，D，F，E四点共圆．
(2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线， ∴GH2＝GC·GD.
由C，D，F，E四点共圆，
得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF. ∴△GCE∽△GFD. GCGE∴＝， GFGD
即GC·GD＝GE·GF.∴CH2＝GE·GF.
如何求解高考中几何证明选讲问题
从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对切割线定理的应用及四点共圆问题重点考查，题型为填空题或解答题．
【示例】? (本题满分10分)(2011·新课标全国)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．
(1)证明：C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
第(1)问连DE，证明△ADE∽△ACB，即证∠ADE＝∠ACB，根据对角
互补判定四点C，B，D，E共圆；第(2)问先求AD、AB的长，再确定C，B，D，E四点所在圆的圆心，进一步求半径．
[解答示范] (1)连接DE，根据题意，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，ADAE
即AC＝AB.又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB.(3分) 因此∠ADE＝∠ACB.
所以C，B，D，E四点共圆．(4分)
(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12. 故AD＝2，AB＝12.(6分)
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.(8分)
1
由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝2×(12－2)＝5. 故C，B，D，E四点所在圆的半径为52.(10分)
本题主要考查平面几何证明，四点共圆，三角形相似，一元二次方程
根与系数的关系．四点共圆常用的证明方法是求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角，当然也可以求出过其中三点的圆，然后证另一点也在这个圆上，也
可以证明以两个点为端点的线段的垂直平分线与以另两个点为端点的线段的垂直平分线相交．
【试一试】 (2011·辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆． [尝试解答] (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA. 所以CD∥AB.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F四点共圆．
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