乐学教育2012年五年级寒假班讲义材料
第二讲 加法原理和乘法原理
在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。
—— 华罗庚（中国当代数学家）
【知识对对碰】
基本概念：
加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
基本思路：运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。各个步骤相互联系又相互独立。
关键问题：计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
注意事项：灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数
问题。
区分：加法原理：完成一件事的每一种方法都能完成任务。：“加法分类，类类独立”
乘法原理：完成一件事的每一个步骤都不能单独完成任务。“乘法分步，步步相乘”
【名题典中典】
【例1】从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
思路导航：解决这个问题有3类方法：火车、汽车、轮船。一天中乘坐火车有4班，乘坐汽车有3班，乘坐轮船有2班，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同方法。
【我能行】
1、学校开展读书竞赛活动，小明要从4本故事书、2本文艺书、3本科技书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法?
2、阳光小学四年级有3个班，各班分别有18人、20人、16人。从中任意一人当升旗手，有多少种选法？
3、学校组织读书活动，要求每一位同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的
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外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，那么小明借一本书可以有多少种不同的选法？
【例2】用1角、2角和5角的三种人民币（张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？ 【思路导航】运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。
所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。、
【我能行】
1、用2角和5角的两种人民币（每种的张数没有限制）组成5元钱，有多少种方法？
2、有2张5元，4张2元，8张1元的人民币，从中拿出12元，有几种拿法？
3、有一张5元，4张2元和8张1元的人民币，从中取9元，有多少种不同的取法？
【例3】从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。小华从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？
思路导航：从甲村经乙村、丙村去丁村，一共有3个步骤：第一步：从甲村去乙村3条路。第二步：从乙村去丙村2条路。第三步：从丙村去丁村4条路。共有：4×3×2=24（种）不同方法.
【我能行】
1、邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 北1号路
A中B2号路C南2、小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，
每次出行要从几种服装中各取一个搭配。问：共可组成多少种不同的搭配？
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3、（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年解题技能展示大赛试题）在右图的每个方格中各放1枚围棋子（黑子或白子），共有多少种不同的放法？
【例4】在右图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。
问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？ A思路导航：蚂蚁从A点爬到B点共有三个步骤：第一步：A-C有3种。 第二步：C-D1种。第三步：D-B有4种。∴一共是3×1×4=12（种）。
【我能行】
1、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。
A问：这只甲虫最多有几种不同走法？
BCDBCD
AB2、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。
问：这只甲虫最多有几种不同走法？
CD
3、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过． B问：这只甲虫最多有几种不同走法?
C A【例5】数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3这四个数字组成三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
思路导航： 组成三位数有三个步骤：第一步：排百位：有3个数字可选。（0不能做最高位）第二步，排十位，有三个数字可选。第三步，排个位，有两个数字可选。∴一共有 3×3×2=18种排法。
【我能行】
1、用2、0、8、4这四个数可以组成多少个没有重复数字的四位数?
2、从10人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？
3、“乐学教育”这四个字要用4种不同颜色来写，现有4种不同颜色的笔，问共有多少种不
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同的写法？
【﹡例6】若有A、B、C、D、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 思路导航：（捆绑法）把AB捆绑在一起，则变成AB、C、D、E四人排队。此时共有4×3×2×1=24种方法。又因为AB有两种排队方法（2×1=2种），所以共有24×2=48种。
【我能行】
1、芳芳，齐齐，晓晓和明明四人照相，芳芳想和齐齐站在一起，共有几种拍照的方法？有
2、8 本不同的书，其中数学书 3 本，外语书 2 本，其它学科书 3 本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起的排法共有多少种？
3、男生小合唱排队，李明想和周凯站在一起，如果6人站队，有几种排法？
【魔法训练营】
1、学生饭堂有主食3种，副食有6种。从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成多少种？
2、小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有多少种取法？
3、小红有不同的上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有几种不同的穿着方法？
4、图书室的书架上摆放着各种图书，其中有故事书120册，有科学幻想小说16册，英语故事10册，画报40册，连环画80册，一位学生要在这些图书中借一册，他有多少种不同的借阅方法？
5、用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有多少种付币方式？
6、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”。
7、公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色的小旗各取一款，有多少种不同的取法？
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8.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口。共有多少种不同的进出路线？ 9、由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同的走法？
10、由A地到B地有3种交通方式，由B地到C地有4种交通方式，有一天因特殊原因，B地往C地的交通方式取消了一种，问当日从A地经过B地到C地有多少种走法？ 11、H市的电话号码有七个数字,其中第一个数字不为0。这个城市、数字不重复的电话号码共有多少个？
12、从长沙去广洲，可乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机，如果某天中，从长沙去广洲有5班火车、4班汽车和3班飞机，那么这一天由长沙去广洲可以有多少种不同的走法？
13、甲、乙、丙三个班，甲班42人，乙班50人，丙班40人，如果从三个班中共同推选一个学生到校会上发言，有多少种选法？
14、从1、9、4、2、5这五数中，选取两个不同的数，使其为偶数的选法共有多少种？
15、书桌上有10本不同的音乐书，5本不同的数学书，4本不同的外语书。
（1）从中任取1本有多少种取法？（2）从三种书中各取1本有多少种取法？
16、甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？
17、某市的电话号码有6个数字，其中第二个数字是5的数字不重复的电话号码有多少个？
18、用1 、9、 8、 5 四个数字,可以组成多少个不同的四位数？
19、用1、 0 、9 、5 四个数字,可以组成多少个不同的四位数？
20、某旅游团要从北京到天津，他们可以坐火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。若他们决定某天出发，而这一天有4班火车，2班汽车，和1班飞机可到天津。问旅游团在这一天由北京出发到天津可以有多少种不同的走法？
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