第4讲 数列求和
题型1 数列中an与Sn的关系 (对应学生用书第11页)
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．数列{an}中，an与Sn的关系：
?S1 n＝，?an＝?
??Sn－Sn－1n
2．求数列{an}通项的方法：
(1)叠加法
n形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠加法求通项公式，an＝a1＋∑f(k)(和可求)．
k＝2
(2)叠乘法 形如
ana2a3an＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式，an＝a1···…·(积可求)． an－1a1a2an－1
(3)待定系数法
μ形如an＝λan－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的数列应用待定系数法求通项公式，an＋＝λ－1
?μ??μ?????为等比数列?． a＋a＋λ?n－1构造新数列n??λ－1??λ－1????
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2.若首项a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
[解析] 因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋1＝3，所以an＝3－1.
nnSn＝a1＋a2＋…＋an＝(3－1)＋(3－1)＋…＋(3－1)＝(3＋3＋…＋3)－n＝
3
－n＝
n＋1
12n12n－31－3
n－3
－n， 2
3
所以Sn＝[答案]
3
n＋1
－33－n＝2－2n－3
2
n＋1
－2n－3
. 2
n＋1
【典题2】 (考查已知an与Sn的递推关系求an)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足
2an＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．
anSn－S2n2an＝1，
anSn－S2n[解] 由已知，当n≥2时，所以即
Sn－Sn－1
＝1，
Sn－Sn－1Sn－S2nSn－Sn－1111
＝1，所以－＝. －Sn－1SnSnSn－12
又S1＝a1＝1，
?1?1
所以数列??是首项为1，公差为的等差数列，
2?Sn?
11n＋1
所以＝1＋(n－1)＝，
Sn22即Sn＝
2
. n＋1
22－＝－n＋1nn2
n＋
.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
1，n＝1，??
因此an＝?2
－，n≥2.??nn＋[类题通法]
给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝ann转化为an的递
推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求
an.
提醒：在利用an＝Sn－Sn－1n求通项公式时，务必验证n＝1时的情形
■对点即时训练………………………………………………………………………· 1．已知数列{an}满足an＋1＝
A．－1 C．1
11
，若a1＝，则a2 018＝( ) 1－an2
1
B． 2D．2
1111111
D [由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝
21－an1－a11－a21－a321－a4
2，…，
1
于是归纳可得a3n－2＝，a3n－1＝2，a3n＝－1，因此a2 018＝a3×672＋2＝2.故选D.]
22．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2 ，则Sn＝__________.
nn·2n(n∈N*) [由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，
?Sn?Sn即n－n－1＝1，所以数列?n?是首项为1，公差为1的等差数列，则n＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，222?2?
SnSn－1
当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2(n∈N)．]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)
题型2 裂项相消法求和(答题模板)
(对应学生用书第12页)
裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于?
?1?
?或??(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．(2017·全国Ⅱ卷aaaann＋1nn＋2?????
n*
1?
T15、2015·全国Ⅰ卷T17、2015·全国Ⅱ卷T16)
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题】 (本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，
①
a2n＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝
1
，求数列{bn}的前n项和.
【导学号：07804027】
[审题指导]
题眼 ① 看到an＋2an＝4Sn＋3， 想到an＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，两式作差，求{an}. 看到bn＝122②
anan＋1
挖掘关键信息 ② anan＋1， 想到先求bn，想到能否裂项. [规范解答] (1)由an＋2an＝4Sn＋3，可知an＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.两式相减可得an＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即
2
an＋1＋an＝a2an＋1＋ann＋1－an＝
2
22
2
③
1分 2分
an＋1－an.
④
由于an＞0，所以an＋1－an＝2.
2
⑤
4分 5分 6分
又由a1＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知bn＝
1＝
1
anan＋1n＋n＋
1?⑥ 1?1
－＝??.
2?2n＋12n＋3?
设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 1??11??11??1－1??＝－－＋＋…＋??????2n＋12n＋3??2??35??57????[阅卷者说]
易错点 ③忽视an与Sn的关系导致思路不清. 防范措施 nn＋
. 12分
an＝Sn－Sn－1(n≥2)是联系an与Sn的桥梁，常借助其实现互化关系. 当等式中出现二元二次方程时，常考虑因式分解. 对题设条件可适当标注，以引起注意，同时解题后要反思总结. 形如???的数列常用裂项相消法求和，裂?anan＋k?④忽视化简、因式分解致误. ⑤忽视题设条件an＞0，导致增解. 1?⑥忽视裂项或裂项后与原式不等价. 项后要注意系数的变化. [类题通法] 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bnk≥1，k∈N裂项方式有：
*
的形式，常见的
提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1
(2017·郑州第三次质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1
2＋n＋1(n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式；
?1?3
?的前n项和为Tn，求证：Tn＜. (2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列?
4?bnbn＋2?
*
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