§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）
【内容分析】：
归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。 【教学目标】： 1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义 （2）能利用归纳方法进行简单的推理， 2、过程与方法：
通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。 3、情感态度与价值观：
体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。 【教学重点】：
（1）体会并实践归纳推理的探索过程 （2）归纳推理的局限 【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、问题情景 学生阅读 1、哥德巴赫猜想： 观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 2、费马猜想： 法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对0123F0?22?1?3，F1?22?1?5，F2?22?1?17，F3?22?1?257，引入课题 通过阅读教材感受归纳推理的魅力 从哥德巴赫猜想引出归纳推4理概念 F4?22?1?65537的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有 2n的自然数n，任何形如Fn?2?1的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发 5现F5?22?1?4294967297?641?6700417不是素数，推翻费马猜想. 3、四色猜想： 1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. ① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii)观察等式： 1?3?4?22,1?3?5?9?32,1?3?5?7?9?16?42，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现二、概念教学 的重要手段） (iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定） 三、例题讲解 四、课堂训练 五、小结 板书分析过程，提问通项公式. （分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想an →如何证明：将递推公式变a2,a3,a4等几项的形，再构造新数列） 计算结果 思考：证得某命题在n＝n0时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证设问：能明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗直接解出透数学归纳法原理，即基础、递推关系） an吗？ 1、已知f(1)?0,af(n)?bf(n?1)?1, n?2,a?0,b?0，推测f(n)的表达式. 根据学生基础情 0 02、三角形的内角和是180,凸四边形的内角和是360,凸五边形的内角和是况，决定0 是当堂引540 , …… 由这些结论猜想凸n边形的内角和公式。 0导学生证解析：凸n边形的内角和公式是(n-2)×180. 明结论或 者是 22?122?222?33、由?,?,?,......归纳猜想出一个一般结论。 课外完33?133?233?3成。 bb?m 解析：猜想：?(a,b,m均为正实数）。 aa?m 1．归纳推理的几个特点 1）规律性 1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提2）探索性 所包容的范围. 3）观察、2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结试验的不论具有猜测性. 确定性 3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础 之上. 指出对归注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有纳推理的规律性的结论 结果进行2．归纳推理的一般步骤： 检验是必1)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理； 要的 2)猜想 3)检验 归纳推理 例1：已知数列?an?的第1项a1?2，且an?1?an(n?1,2,L)，试归纳出1?an 【练习与测试】： （基础题）
1）数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于（ ） A．28 B．32 C．33 D．27
2）从1?1,2?3?4?3,3?4?5?6?7?5中得出的一般性结论是_____________。
3)定义A?B,B?C,C?D,D?A的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（ ）.
222
（1） （2） （3） （4） （A） （B） A.B?D,A?D B.B?D,A?C C.B?C,A?D D.C?D,A?D 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________． 5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n件首饰所用珠宝总数为_________________颗.
6)已知an?1?nan（n=1.2. …）a1?1试归纳这个数列的通项公式 n?1
答案： 1）B 5?2?3,11?5?6,20?11?9,推出x?20?12,x?32
2）n?n?1?...?2n?1?2n?...?3n?2?(2n?1),n?N 注意左边共有2n?1项 3）B 0 4）（n-2）36025） 91,1+5+9+…4n+1=2n+3n+1 6） a1=1,a2=2*111 a3=… an= 32n
（中等题）
1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.
2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n条直线交点的个数，则 f（4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.6
4)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测an?1?2?3?...?(n?1)?n?(n?1)?...?3?2?1的结果. 答案：
1）1+2+3+4+…+(n+1)=
1(n?1)(n?2) 22
3
4
5
2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+2，15＝7+2，15+2＝31，31+2＝63 3）C
2222
4）依次为，1，2，3，4，所以an=n
（难题）
1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（ ）.
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697 2) 考察下列一组不等式： 23?53?22?5?2?52,
24?54?23?5?2?53, 24?54?23?5?2?53,
25?55?23?52?22?53,LL.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .
答案：
2
1）C 41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式为an=n+n+41,a40=1681,而1681＝41?41不是质数
nnn-mmmn-m
2）a+b>ab+ab n,m?N, n>m
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