专题能力训练6 函数与方程及函数的应用
一、能力突破训练
1.函数f(x)=的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 2
解析：当x≤0时,令x+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以已知函数有2个零点.故选C.
2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|>,则f(x)可以是( )
xA.f(x)=2x-
B.f(x)=-x+x- C.f(x)=1-10 D.f(x)=ln(8x-2) 答案：C x2
解析：依题意得g=+-2<0,g=1>0,则x2∈.若f(x)=1-10x,
则有x1=0,此时|x1-x2|>,因此选C.
3.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 2017年5月1日 2017年5月15日 加油量/升 12 48 加油时的累计里程/千米 35 000 35 600 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 答案：B 解析：因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.
而这段时间内行驶的里程数s=35 600-35 000=600(千米).
所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为×100=8(升).故选B.
4.已知函数f(x)=(k∈R).若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围
是( )
A.[2,+∞) B.(-1,0) C.[-2,1) D.(-∞,-2] 答案：D 解析：由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,
要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2.故选D.
x5.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为 . 答案：f(a) x解析：由题意,知f'(x)=e+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是增函数. 01 因为f(0)=e+0-2=-1<0,f(1)=e+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1). 由题意,知g'(x)=+1>0, 则函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数. 又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2). 综上,可得0 6.已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围 是 . 答案：(-∞,0)∪(1,+∞) 解析：要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点. 当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点. 当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,0)内单 322 调递减,在区间[0,+∞)内单调递增,且a<0,a>0,所以,当0 图① 图② 当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,+∞)内 3223 单调递增,但a>a,所以当a 综上,实数a的取值范围是a<0或a>1. 7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下: ①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠; ②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠; ③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠. 甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款 元. 答案：520 解析：设商品价格为x元,实际付款为y元, 则y= 整理,得y= ∵0.9×200=180>100, ∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450, ∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元. 3 8.设x+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号) ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2. 答案：①③④⑤ 3 解析：方程仅有一个实根,则函数f(x)=x+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3 32 时,f(x)=x-3x+b,f'(x)=3x-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,满足题意,故①正确;当b=2时,f(-1)=4>0,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故②不正确;当b>2 2 时,f(-1)=2+b>4,f(1)=-2+b>0,满足题意,故③正确;当a=0和a=1时,f'(x)=3x+a≥0,f(x) 3 在R上为增函数,所以函数f(x)=x+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故④⑤也满足题意. 9.已知函数f(x)=2,g(x)=(1)求函数g(x)的值域; x+2. (2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值. 解(1)g(x)=+2=+2, 因为|x|≥0,所以0<≤1, 即2 (2)由f(x)-g(x)=0,得2-x-2=0. 当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2-(2)-2×2-1=0,(2-1)=2, 解得2=1±即x=log2(1+10. xx2 xx2 x-2=0整理,得 .因为2x>0,所以2x=1+). , 如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为 ;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面 积S=时, (1)写出y的表达式; (2)设0 解(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故 y==(3|v-c|+10)(v>0). (2)由(1)知,当0
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