海淀区2019届高三一模数学试题及答案

理由如下：

1-lnxlnxx由f(x)=x，得f'(x)=. xee因为x?(0,1),

1?1,lnx<0. x1因此-lnx>0.

x所以

又因为ex>0，

所以f'(x)>0恒成立. 所以f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数.

（Ⅱ）由题意可得，x?(0,??).

1?lnx因为f'(x)?xx,

e令g(x)?111?lnx, 则g'(x)??2??0. xxx所以g(x)在(0,??)上单调递减.

因为g(1)?1?0,g(e)?1?1?0， e所以存在唯一实数x0，使得g(x0)?0，其中x0?(1,e).

x (0,x0) ? x0 0 极大值 (x0,??) f'(x) f(x) ? x，f'(x)，f(x)的变化如表所示：

所以f(x0)为函数f(x)的极大值. 因为函数f(x)在(0,??)有唯一的极大值. 所以f(x)max?f(x0)?因为

lnx0. x0e1?lnx0， x0所以f(x)max?f(x0)?因为x0?(1,e)， 所以f(x)max=所以f(x)

?1,2,3,5,8?是“独立的”.

（Ⅱ）记集合M的含有四个元素的集合分别为:

A1?{a2,a3,a4,a5}A4?{a1,a2,a3,a5}，

A5?{a1,a2,a3,a4}.

，

A2?{a1,a3,a4,a5}，

A3?{a1,a2,a4,a5}，

所以，M至多有5个“关联子集”.

若A2?{a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A1?{a2,a3,a4,a5}不是“关联子集”，否则a1?a2;

同理可得若A2?{a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”. 所以集合M没有同时含有元素a2,a5的“关联子集”，与已知矛盾.

所以A2?{a1,a3,a4,a5}一定不是“关联子集”.

同理A4?{a1,a2,a3,a5}一定不是“关联子集”. 所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5.

若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3,a5的“关联子集”，与已知矛盾;

若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1,a5的“关联子集”，与已知矛盾;

若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1,a3的“关联子集”，与已知矛盾.

所以A1，A3，A5都是“关联子集”. 所以有a2?a5?a3?a4，即a5?a4?a3?a2;

a1?a5?a2?a4，即a5?a4?a2?a1; a1?a4?a2?a3，即a4?a3?a2?a1,

所以a5?a4?a4?a3?a3?a2?a2?a1.

所以a1,a2,a3,a4,a5是等差数列.

（Ⅲ）不妨设集合M?{a1,a2,L,an}（n?5），ai?N*，i?1，2,L,n，且

a1?a2?L?an.记T?{t|t?ai?aj,1?i?j?n,i,j?N*}.

因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好有Cn?2n(n?1)个元素. 2n2?n?9假设结论错误，即不存在x?M，使得x?.

4n2?n?8n2?n?9*所以任取x?M，x?.因为x?N，所以x?.

44n2?n?8n2?n?8n2?n?8n2?n??1??1??3. 所以ai?aj?4422n2?n?3. 所以任取t?T，t?2任取t?T，t?1?2?3,

n(n?1)n2?n??3}，且T中含有C2所以T?{3,4,L,个元素. n22（i）若3?T，则必有a1?1,a2?2成立.

因为n?5，所以一定有an?an?1?a2?a1成立.所以an?an?1?2.

n2?n?8n2?n?8n2?n+?2??2. 所以an?an?1?442n2?nT?{t|3?t??2,t?N*}所以.

2n2?n?8n2?n?8an=,an?1??2.

44因为4?T，所以a3?3，所以有an?a1?an?1?a3，矛盾.

所以

n2?n?3}. （ii）若3?T，则T?{4,5,L,2n(n?1)n2?n2?3,t?N*}. 而T中含有Cn?个元素,所以T?{t|4?t?222n?n?8n2?n?8所以an=，an?1??1.

44因为4?T，所以a1?1,a2?3.

n2?nn2?n?2?T，所以?2?an?2?an. 因为22n2?n?8?2. 所以an?2?4所以an?a1?an?2?a3，矛盾.

所以命题成立.