2020年高考理科数学一轮总复习：正弦定理和余弦定理教师版

2020年高考理科数学一轮总复习

正弦定理和余弦定理

[基础梳理] 1．正弦定理

abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径． 正弦定理的常用变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. abc

(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 2．余弦定理

b2＋c2－a2

a＝b＋c－2bccos_A，cos A＝2bc；

222a＋c－b

b2＝a2＋c2－2accos_B，cos B＝2ac；

a2＋b2－c2222

c＝a＋b－2abcos_C，cos C＝2ab.

2

2

2

3．勾股定理 在△ABC中，∠C＝4．三角形的面积公式 111

S△ABC＝2aha＝2bhb＝2chc 111

＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B.

1．射影定理：bcos C＋ccos B＝a， bcos A＋acos B＝c， acos C＋ccos A＝b.

2．三个角A、B、C与诱导公式的“消角”关系 sin(A＋B)＝sin C， cos(A＋B)＝－cos C， sin

a2＋b2＝c2. A＋BC

＝cos 22，

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cos

A＋BC

＝sin 22.

[四基自测]

1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B

2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝( ) A．43 C.3 答案：B

C53．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos2＝5，BC＝1，AC＝5，则AB＝( ) A．42 C.29

B.30 D．25 B．23 3

D.2 B．直角三角形 D．不能确定

C5

解析：∵cos2＝5，

C3?5?

∴cos C＝2cos22－1＝2×??2－1＝－5.

?5?

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－?3?2×5×1×?－5?＝32，

??∴AB＝32＝42. 故选A. 答案：A

π

4．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)若△ABC中，A＝6，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________． 23答案：3 5．在△ABC中，若acos C＋ccos A＝1，则b＝__________. 答案：1

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考点一 正、余弦定理的简单应用?考基础——练透

[例1] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，3

cos A＝5，则b等于( )

510A.3 B.7 552C.7 D.14 3

解析：因为cos A＝5，所以sin A＝1－cos2A＝

?3?4

1－?5?2＝5，所以sin C＝sin[π??4372

－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝5cos 45°＋5sin 45°＝10. bc15

由正弦定理sin B＝sin C，得b＝×sin 45°＝7.

7210答案：C

π

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝6，a＝1，b＝3，则B的大小为__________．

abπ3

解析：由正弦定理，得sin A＝sin B.把A＝6，a＝1，b＝3代入，解得sin B＝2.π2π

因为b>a，所以B>A，结合题意可知B＝3或3. π2答案：3或3π

153

(3)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为4，则BC边的长为________．

1531153[解析] 由S△ABC＝4得2×3×ACsin 120°＝4，所以AC＝5，因此BC2＝

1

AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×2＝49，解得BC＝7. 答案：7

sin 2A

(4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin C＝________.

b2＋c2－a2sin Aa

解析：由正弦定理得sin C＝c，由余弦定理得cos A＝∵a＝4，b＝5，

2bc，c＝6，

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