3．已知△ABC满足sin2A＋sin Asin B＋sin2B＝sin2C，则角C的大小是________． 解析：因为sin2A＋sin Asin B＋sin2B＝sin2C，所以a2＋ab＋b2＝c2，即a2＋b2－a2＋b2－c212c＝－ab，故cos C＝2ab＝－2(0＜C＜π)，所以C＝3π.
2答案：3π
2
考点二 判断三角形的形状?考能力——知法
[例2] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不确定
a2＋b2－c2a2＋c2－b22a2
解析：法一：因为bcos C＋ccos B＝b·2ab＋c·2ac＝2a＝a，所以π
asin A＝a，即sin A＝1，故A＝2，因此△ABC是直角三角形． 法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝sin2A，
π
故sin A＝1，即A＝2，因此△ABC是直角三角形． 法三：由射影定理可得bcos C＋ccos B＝a，
π
所以a＝asin A，所以sin A＝1，A＝2，为直角三角形． 答案：B
(2)已知△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形 C．直角三角形 π
又A＋B＋C＝π.∴B＝3，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac. 又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
B．等边三角形 D．钝角三角形
解析：∵内角A、B、C成等差数列，∴A＋C＝2B.
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π
∴a＝c，又B＝3，∴△ABC为等边三角形． 答案：B
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 边角互化法 边化角：用角的三角函数表示边 等式两边是边的齐次形式 角化边：将表达式中的角用边的等式两边是角的齐次形式或形式表示 a2＋b2－c2＝λab
1．在△ABC中，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC的形状为________． 解析：法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B) ＝sin A cos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0， 因为－π＜A－B＜π，所以A＝B. 所以△ABC为等腰三角形． 法二：由正弦定理得2acos B＝c， 再由余弦定理
a2＋c2－b2
得2a·2ac＝ca2＝b2所以△ABC为等腰三角形． 答案：等腰三角形
2．在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________． 解析：因为c－acos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
a＝b.
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故cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin A＝sin B， π
即A＝2或A＝B，
故△ABC为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形
考点三 有关三角形的周长、面积及正、余弦定理的综合应用?考素养——懂理 [例3] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.a2＋b2－c2若△ABC的面积为，则C＝( )
4
ππππA.2 B.3 C.4 D.6
a2＋b2－c22abcos C11
解析：∵S＝2absin C＝＝＝2abcos C，∴sin C＝cos C，即tan
44C＝1.
π
∵C∈(0，π)，∴C＝4.故选C. 答案：C
(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. ①求cos∠ADB； ②若DC＝22，求BC.
BDAB解析：①在△ABD中，由正弦定理得＝，
sin∠Asin∠ADB522即sin 45°＝，所以sin∠ADB＝5.
sin∠ADB由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝2②由题设及①知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝5. 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2
2×5×22×5＝25， 所以BC＝5.
2231－25＝5. 第 7 页 共 14 页
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用.
3
1．(2018·高考北京卷)若△ABC的面积为4(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B
c
＝________；a的取值范围是________．
a2＋c2－b2
解析：由余弦定理得cos B＝2ac， ∴a2＋c2－b2＝2accos B.
3
又∵S＝4(a2＋c2－b2)， 13
∴2acsin B＝4×2accos B，
π
∴tan B＝3，∴∠B＝3.
2ππ
又∵∠C为钝角，∴∠C＝3－∠A＞2，
π
∴0＜∠A＜6.
?2π?sin?3－∠A???c
由正弦定理得a＝ sin A
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