2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例（含解析）

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考试说明 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

考情分析

考点 考查方向 考例 考查热度 平面向量的数量积 2017全国卷Ⅰ13,2017全国卷Ⅱ12,2016全国求向量的数量积、夹角、卷Ⅰ13,2016全国卷模等相关问题 Ⅲ3,2014全国卷Ⅰ15,2014全国卷Ⅱ3,2013全国卷Ⅱ13 判断垂直、根据垂直求参数值等 在三角函数、解析几何中的应用等 2016全国卷Ⅱ3,2013全国卷Ⅰ13 ★★★ 平面向量垂直的条件 平面向量的综合应用

★★☆ ★☆☆ 真题再现

■ [2017-2013]课标全国真题再现

1.[2017·全国卷Ⅱ] 已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则是 ( )

·(

+)的最小值

A.-2 B.-

C.- D.-1

[解析] B 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,).设P(x,y),则)=x(2x-3)+y(2y-)=2x-3x+2y2

·(+)=(-x,-y)·[(2-x,-y)+(1-x,-y)]=(x,y)·(2x-3,2y-2

-y=2+2-≥-,当且仅当x=,y=时,等号成立,点在平面ABC内部,此时

·(+)取得最小值,最小值为-.

2.[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= A.-8 C.6 D.8

B.-6

( )

[解析] D a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.

3.[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量A.30° B.45° C.60° D.120°

=,,=,,则∠ABC= ( )

[解析] A cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.

4.[2014·全国卷Ⅱ] 设向量a,b满足|a+b|=A.1 B.2 C.3 D.5

,|a-b|=,则a·b= ( )

[解析] A 由已知得|a+b|=10,|a-b|=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.

5.[2017·全国卷Ⅰ] 已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . [答案] 2

22

[解析] |a+2b|==2

=2

2

.

2

6.[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|=|a|+|b|,则m= .

[答案] -2

[解析] 由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.

7.[2013·全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t= . [答案] 2

[解析] 因为|a|=|b|=1,a·b=,所以b·c=b·[ta+(1-t)b]=t+1-t=0,所以t=2.

8.[2013·全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则[答案] 2

[解析] 如图,建立直角坐标系,则

·= .

=(1,2),=(-2,2),

·=2.

■ [2017-2016]其他省份类似高考真题

1.[2016·山东卷] 已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=,若n⊥(tm+n),则实数t的值为( ) A.4 B.-4

C. D.-

[解析] B 由4|m|=3|n|,可设|m|=3,|n|=4.

又∵n⊥(tm+n),cos=,

∴n·(tm+n)=0,即t×4×3×+16=0,解得t=-4.

2.[2016·天津卷] 已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则

·

的值为 ( )

A.- B.

C. D. [解析] B ∵=-,=+=+=+,∴·=(-)·+=×1×1×-+-×1×1×=+--=.

3.[2017·天津卷] 在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若λ的值为 .

=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则

[答案]

[解析] ∵·=3×2×cos

60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.

4.[2017·山东卷] 已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若是 .

e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值

[答案]

[解析] 由题意不妨取e1=(1,0),e2=(0,1),由条件可设a=e1-e2=(,-1),b=e1+λe2=(1,λ),所以

cos=cos 60°==,所以-λ=,解得λ=.

5.[2016·浙江卷] 已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤最大值是 .

,则a·b的

[答案]