真题演练集训
1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( )
3311A．－2 B.2 C．－2 D.2 答案：D
解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 120°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝2，故选D.
ππ
2．[2016·四川卷]cos28－sin28＝________. 2答案：2
解析：由二倍角公式，得 π??π22π??2×cos 8－sin 8＝cos8?＝2. ?
2
3．[2015·四川卷]sin 15°＋sin 75°的值是________． 6
答案：2
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°
?2?2
? ＝2?sin 15°＋2cos 15°?2?
＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) 36＝2sin 60°＝2×2＝2. 14．[2015·江苏卷]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝7，则tan β的值为________．
答案：3
tan?α＋β?－tan α
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
1＋tan?α＋β?tan α1
7－?－2?＝1＝3. 1＋7×?－2?
课外拓展阅读 三角恒等变换的综合问题
1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用
利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．
[典例1] [改编题]已知函数f(x)＝2sin ωx－4sin2＋2＋a(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间[6,16]上的最大值为4，求a的值．
π??ωx
[解] (1)f(x)＝2sin ωx－4sin22＋2＋a＝22sin?ωx＋4?＋a，
??πππ
由题意，知2ω＋4＝2，得ω＝8. 2π
所以最小正周期T＝ω＝16. π??π
(2)f(x)＝22sin?8x＋4?＋a，
??
9π?ππ?
因为x∈[6,16]，所以8x＋4∈?π，4?.
??ππ9π
由图象可知(图略)，当8x＋4＝4， 即当x＝16时， f(x)的最大值，
2ωx
9π
由22sin 4＋a＝4，得a＝2. 2．三角恒等变换与三角形的综合
三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．
根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：
(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；
(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．
[典例2] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.
(1)求C；
32cos?α＋A?cos?α＋B?2
(2)设cos Acos B＝5，＝ 2cosα5，求tan α的值．[解] (1)因为a2＋b2＋2ab＝c2，
a2＋b2－c2－2ab23π
由余弦定理，得cos C＝2ab＝2ab＝－2.故C＝4. (2)由题意，得
?sin αsin A－cos αcos A??sin αsin B－cos αcos B?2
＝5， cos2α2
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝5，
2
tanαsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝5，
2
2
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝5.①
3ππ
因为C＝4，A＋B＝4， 2
所以sin(A＋B)＝2. 因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B， 322即5－sin Asin B＝2， 3222
解得sin Asin B＝5－2＝10. 由①得tan2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4. 3．三角恒等变换与向量的综合
三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，a∥b?x1y2＝x2y1，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．
[典例3] 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，是共线向量．
(1)求角A；
C－3B
(2)求函数y＝2sinB＋cos 2的最大值．
2
化简
[思路分析] (1)向量共线→三角函数式――→ 得sin2A的值→得锐角A
(2)化函数为Asin?ωx＋φ?＋b的形式→根据B的范围求最值
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