实变函数证明题大全（期末复习）

1、设E?R',f(x)是E上a.e.有限的可测函数，证明：存在定义在R'上的一列连续函数

{gn}，使得limgn(x)?f(x)a.e.于E。

n??证明：因为f(x) 在E上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n，存在E的可测子集En，

使得m(E?En)?1， 同时存在定义在R1上的连续函数gn(x)，使得当x?En时，有ngn(x)?f(x)所以对任意的??0，成立E[|f?gn?|??]E?En由此可得

1因此limmE[|f?gn|?n]?0即gn(x)?f(x)，mE[|f?gn?|n?]mE(?En?)，

n??n由黎斯定理存在{gn}的子列{gnk}，使得limgnk(x)?f(x)，a.e.于E

k??2、设f(x则f(g(x))是可测函数。 )是(??,)?上的连续函数，g(x)为[a,b]上的可测函数，证明：记E1?(??,??),E2?[a,b]，由于f(x)在E1上连续，故对任意实数c,E1[f?c]是

直线上的开集，设E1[f?c]?个

，

?(?n?1?n,?n)，其中(?n,?n)是其构成区间（可能是有限

?n可

?能为

????n可有为

??）因此

E2[f(g)?c]??E[?2n?g??n]??(E[g??2n]?E[g??n])2因为g在E2上可

n?1n?1测，因此E2[g??n],E2[g??n]都可测。故E[f(g)?c]可测。

3、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数，则对于任意常数a，E?{x|f(x)?a}是一开集，而E?{x|f(x)?a}总是一闭集。

证明：若x0?E,则f(x0)?a，因为f(x)是连续的，所以存在??0，使任意x?(??,?)，

|x?x0|??就有f(x)?a， 即任意x?U(x0,?),就有x?E,所以U(x0,?)?E,E是

开集若xn?E,且xn?x0(n??),则f(xn)?a，由于f(x)连续，f(x0)?limf(xn)?a，

n??即x0?E，因此E是闭集。

4、（1）设A2n?1?(0,),A2n(0,n),n?1,2,?,求出集列{An}的上限集和下限集

证明：limAn?(0,?)设x?(0,?)，则存在N，使x?N，因此n?N时，0?x?n，即

n??1nx?A2n，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多An，得x?limAn，

n??又显然limAn?(0,?),所以limAn?(0,?)limAn??若有x?limAn，则存在N，使

n??n??n??n??任意n?N，有x?An，因此若2n?1?N时，

1x?A2n?1,即0?x?,令n??得0?x?0，此不可能，所以limA??

nnn??（2）可数点集的外测度为零。

证明：证明：设E?{xi|i?1,2,?}对任意??0，存在开区间Ii，使xi?Ii，且|Ii|?以

?2i所

?Ii?1?i?E，且?|Ii|??，由?的任意性得m*E?0

i?1?5、设fn?是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 证： 显然，{fn}的收敛点集可表示为E0?E[xlimfn(x)?limfn(x)]

x??x??? =

1E[limf?limf?]. ?nnx??x??kk?1?由fn可测limfn及limfn都可测，所以limfn?limfn在E上可测。

x??x??x??x??从而，对任一自然数k，E[limfn?limfn?x??x??1]可测。故 k E0?1E[limf?limf?] ?nnx??x??kk?1?可测。既然收敛点集E0可测，那么发散点集E?E0也可测。

q6、设E?R，存在两侧两列可测集{An}，{Bn},使得An? E?Bn且m（An-Bn）→0，

（n→∝）则E可测.

证明：对于任意i，?Bn?Bi ，所以 ?Bn-E?Bi?E

n?1n?1??又因为 Ai?E ，Bi?E?Bi?Ai

所以对于任意i，m*（?Bn?E）?m*(Bi?E)?m*(Bi?Ai)?m(Bi?Ai)

n?1???

令i→∝ ，由m(Bi?Ai)→0 得m*（?Bn?E）?0所以?Bn?E是可测的又由于Bn可

n?1n?1测，有?Bn也是可测的所以E??Bn?(?Bn?E)是可测的。

n?1???n?1n?17、设在E上fn?x??f?x?，而fn?x??gn?x?a.e.成立，则有gn?x??f?x? n?1,2?，

????设En?E?fn?gn?，则m??En???mEn?0。

?n?1?n?1???0???E?f?g????En????n??E??f?fn?????n?1????????f???n?1?g???n所以

m???Enn????m?n??????E??? m?Enf因为fn?x??f?x?，所以0?limmE??f?gn?????limmE??f?fn?????0

n即 gn?x??f?x?

8、证明：(A?B)??A??B?。

证明：因为A?A?B，B?A?B，所以，A??(A?B)?，B??(A?B)?，从而

A??B??(A?B)?

反之，对任意x?(A?B)?，即对任意B(x,?)，有

B(x,?)?(A?B)?(B(x,?)?A)?(B(x,?)?B)为无限集，

从而B(x,?)?A为无限集或B(x,?)?B为无限集至少有一个成立，即x?A?或x?B?，所以，x?A??B?，(A?B)??A??B?。综上所述，(A?B)??A??B?。 9、证明：若fn(x)?f(x)，fn(x)?g(x)（x?E），则f(x)?g(x)a.e.于E。 证明：由于E[xf(x)?g(x)]??E[xf?g?n?1?1]，而 n111E[xf?g?]?E[xfn?f?]?E[xfn?g?]，

k2k2k所以，

111mE[xf?g?]?mE[xfn?f?]?mE[xfn?g?]，

k2k2k由fn(x)?f(x)，fn(x)?g(x)（x?E）得

limmE[xfn?f?n??11]?0，limmE[xfn?g?]?0。

n??2k2k所以，mE[xf?g?1]?0，从而mE[xf(x)?g(x)]?0，即f(x)?g(x)a.e.于E。 k10、、证明：若fn(x)?f(x)，gn(x)?g(x)（x?E），则fn(x)?gn(x)?f(x)?g(x)（x?E）。

证明：对任意??0，由于

fn(x)?gn(x)?[f(x)?g(x)]?fn(x)?f(x)?gn(x)?g(x)，

所以，由fn(x)?gn(x)?[f(x)?g(x)]??可得，

11fn(x)?f(x)??和gn(x)?g(x)??至少有一个成立。

22从而

11E[xfn?gn?[f?g]??]?E[xfn?f??]?E[xgn?g??]，

22所以，

11mE[xfn?gn?[f?g]??]?mE[xfn?f??]?mE[xgn?g??]。

22又由fn(x)?f(x)，gn(x)?g(x)（x?E）得，

11limmE[xfn?f??]?0，limmE[xgn?g??]?0。 n??n??22所以，

limmE[xfn?gn?[f?g]??]?0，即fn(x)?gn(x)?f(x)?g(x)（x?E）。

n??11、若fn(x)?f(x)（x?E），则fn(x)?f(x)（x?E）。

证明：因为fn(x)?f(x)?fn(x)?f(x)，所以，对任意??0，有

E[xfn?f??]?E[xfn?f??]， mE[xfn?f??]?mE[xfn?f??]。

又由fn(x)?f(x)（x?E）得，limmE[xfn?f??]?0。所以，

n??limmE[xfn?f??]?0，即fn(x)?f(x)（x?E）。

n??