实变函数证明题大全（期末复习）

12、证明：R1上的连续函数必为可测函数。

证明：设f(x)是R1上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a，

R1[xf?a]?{xf(x)?a,x?R1}是开集，从而是可测集。所以，f(x)是R1上的可测函

数。

13、证明：R1上的单调函数必为可测函数。

证明：不妨设f(x)是R1上的单调递增函数，对任意实数a，记A?inf{xf(x)?a}，由单调函数的特点得，当A?{xf(x)?a}时，{xf(x)?a}?[A,??)，显然是可测集；当A?{xf(x)?a}时，{xf(x)?a}?(A,??)，也显然是可测集。故f(x)是R1上的可测函数。

14、设f(x)?L(E)，En是E的可测子集，且mE???，若limmEn?mE，则

n??。 lim?fx()dx??fx(x)dn??EnE证明：因为En是E的可测子集，且mE???，所以，m(E?En)?mE?mEn，从而由limmEn?mE得，limm(E?En)?mE?limmEn?0。又f(x)?L(E)，由积分的绝

n??n??n??对连续性，lim[n???Ef(x)dx??f(x)dx]?lim?Enn??E?Enf(x)dx?0。

15、设f(x)?L(E)，若对任意有界可测函数?(x)都有

?Ef(x)?(x)dx?，0则

f(x)?0a.e.于E。

?1,x?E[xf(x)?0]?证明：由题设，取?(x)??0,x?E[xf(x)?0]，显然?(x)为E上的有界可测函数，

??1,x?E[xf(x)?0]?从而

16、设f(x)?L(E)，en?E[f?n]，证明（1）limmen?0；（2）limn?men?0。

n??n???E f(x)dx??f(x)?(x)dx?0。所以，f(x)?0a.e.于E，即f(x)?0a.e.于E。

E证明：由n?men??en（1）limmen?0。（2）由（1），注意到f(x)dx??f(x)dx得，

En??f(x)?L(E)，由积分的绝对连续性得，lim?f(x)dx?0，从而注意到

n??en0?n?men??f(x)dx，

en所以，limn?men?0。

n??17、若f(x)是[a,b]上的单调函数，则f(x)是[a,b]上的有界变差函数，且

V(f)?f(b)?f(a)。

ab证明：不妨设f(x)是[a,b]上的单调增函数，任取[a,b]的一个分割

T:a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b

则

?i?1nf(xi)?f(xi?1)??[f(xi)?f(xi?1)]?f(xn)?f(x0)

i?1n ?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)，

所以，V(f)?supaTb?i?1nf(xi)?f(xi?1)?f(b)?f(a)。

18、若f(x)在[a,b]上满足：存在正常数K，使得对任意x1,x2?[a,b]，都有

f(x1)?f(x2)?Kx1?x2，

则 （1）f(x)是[a,b]上的有界变差函数，且V(f)?K(b?a)；

ab （2）f(x)是[a,b]上的绝对连续函数。

证明：（1）由题设，任取[a,b]的一个分割

T:a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b

则

?i?1nf(xi)?f(xi?1)??Kxi?xi?1?K?(xi?xi?1)?K(b?a)，

i?1i?1bnn所以，f(x)是[a,b]上的有界变差函数，且V(f)?supaT?i?1nf(xi)?f(xi?1)?K(b?a)。

（2）在[a,b]内，任取有限个互不相交的开区间(xi,yi)，i?1,2,?,n。由于

?i?1nf(xi)?f(yi)??Kxi?yi?K?xi?yi，

i?1i?1nn于是，对任意??0，取??n?K，则当

?x?yii?1ni??时，有

n?i?1f(xi)?f(yi)?K?xi?yi??，

i?1即f(x)是[a,b]上的绝对连续函数。

19、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)是[a,b]上的有界变差函数。

证明：由f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，取??1，存在??0，对任意有限个互不

相交的开区间(xi,yi)，i?1,2,?,n，只要

?x?yii?1ni??时，有?f(xi)?f(yi)?1。

i?1n现将[a,b]等分，记分点为a?a0?a1???ai?1?ai???an?b，使得每一等份的长度小于?。易得V(f)?1，即f(x)是[ai?1,ai]上的有界变差函数。又[a,b]??[ai?1,ai]，

ai?1aiaini?1所以，V(f)?ab?V(f)?n???，即f(x)是[a,b]上的有界变差函数。

i?1ai?1n

20、若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则 （1）全变差函数V(f)是[a,b]上的递增函数；

ax（2）V(f)?f(x)也是[a,b]上的递增函数。

ax

x2x1证明：（1）对任意x1,x2?[a,b]，x2?x1，注意到V(f)?0，有

V(f)?V(f)?V(f)?V(f)，

aax1ax2x1x2x1即V(f)是[a,b]上的递增函数。

ax（2）对任意x1,x2?[a,b]，x2?x1，注意到V(f)?f(xi)?f(xi?1)，有

x1x2V(f)?f(x2)?[V(f)?f(x1)]?V(f)?[f(x2)?f(x1)]

aax1x2x1x2 ?V(f)?f(x2)?f(x1)?0，

x1x2即V(f)?f(x)是[a,b]上的递增函数。

ax

21、证明Jordan分解定理：f(x)是[a,b]上的有界变差函数?f(x)可表示成[a,b]上的两个增函数之差。

证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。

事实上，f(x)?V(f)?[V(f)?f(x)]，由上题V(f)和V(f)?f(x)都是[a,b]上的

aaaaxxxx递增函数。