1. 计算区域的离散化
所谓区域的离散化(domain discretization)实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来的连续空间。一般的实施过程是：把所计算的区域划分成许多个互不重叠的子区域(sub-domain)，确定每个子区域中的节点位置及该节点所代表的控制体积。区域离散后，得到以下四种几何要素。
? 节点(node)：需要求解的未知物理量的几何位置。 ? 控制体积(control volume)：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
? ?
界面(face)：它定义了与各节点相对应的控制体积的界面位置。
网格线(grid line)：连接相邻两节点面形成的曲线簇。
一般把节点看成是控制体积的代表。在离散过程中，将一个控制体积上的物理量定义并存储在该节点处。图1-2给出了一维问题的有限体积法计算网格，图1-3给出了二维问题的有限体积法计算网格。
图1-2 一维的有限体积法网格
图1-3 二维的有限体积法网格
计算区域离散的网格有两类：结构化网格和非结构化网格。节点排列有序，即当给出了一个节点的编号后，立即可以得出其相邻节点的编号，所有内部节点周围的网格数目相同。这种网格称为结构化网格(structured grid)。结构化网格具有实现容易、生成速度快、网格质量好、数据结构简单的优点，但不能实现复杂边界区域的离散。
而非结构化网格的内部节点以一种不规则的方式布置在流场中，各节点周围的网格数目不尽相同。这种网格虽然生成过程比较复杂，但却有极大的适应性，对复杂边界的流场
计算问题特别有效。
2. 控制方程的离散化
前面给出的流体流动问题的控制方程，无论是连续性方程、动量方程，还是能量方程，都可写成如式(1-89)所示的通用形式，
?(?u?)?div(?u?)?div(?grad?)?S (1-89) ?t对于一维稳态问题，其控制方程如式(1-90)所示：
d(?u?)d?d???????S (1-90) dxdx?dx?式中：从左到右各项分别为对流项、扩散项和源项。方程中的?是广义变量，可以为速度、温度或浓度等一些待求的物理量。?是相应于?的广义扩散系数，S是广义源项。变量?在端点A和B的边界值为已知。
有限体积法的关键一步是在控制体积上积分控制方程，在控制体积节点上产生离散的方程。对一维模型方程(1-90)，在图1-2所示的控制体积P上作积分，有
d(?u?)d?d??dV???dV???VSdV (1-91) ??Vdx??Vdx??dx?式中：?V是控制体积的体积值。当控制体积很微小时，?V可以表示为?V?A，这里A是控制体积界面的面积。从而有
d???d???(?u?A)e?(?u?A)w???A????A??S??V (1-92)
dx?e?dx?w?从式(1-92)看到，对流项和扩散项均已转化为控制体积界面上的值。有限体积法最显著的特
点之一就是离散方程中具有明确的物理插值，即界面的物理量要通过插值的方式由节点的物理量来表示。
u、为了建立所需要形式的离散方程，需要找出如何表示式(1-92)中界面e和w处的?、
d?d??、?和。在有限体积法中规定，?、u、?、?和等物理量均是在节点处定义和
dxdx计算的。因此，为了计算界面上的这些物理参数(包括其导数)，需要一个物理参数在节点间的近似分布。可以想象，线性近似是可以用来计算界面物性值的最直接，也是最简单的方式。这种分布叫做中心差分。如果网格是均匀的，则单个物理参数(以扩散系数?为例)的线性插值结果是
?P??E?????e2 (1-93) ????P???Ww??2(?u?A)的线性插值结果是
?P??E?(?u?A)?(?u)Aeee??2 (1-94) ????P?(?u?A)?(?u)AWwww??2
与梯度项相关的扩散通量的线性插值结果是
????E??P?d???A??A???ee??dx?e???(?x)e? (1-95) ???P??W?d?????A??A?ww????dx?w?(?x)w???对于源项S，它通常是时间和物理量?的函数。为了简化处理，将S转化为如下线性 方式：
S?SC?SP?P (1-96)
式中：SC是常数，SP是随时间和物理量?变化的项。将式(1-93)～式(1-96)代入方程(1-92)，有
(?u)eAe?P??E22????P???P??W??eAe?E??A?ww??(?x)e??(?x)w?(?u)wAw?W??P???(SC?SP?P)??V? (1-97)
整理后得
??e??wA?A?S??V???PewP(?x)(?x)ew??????(?u)w?(?u)e???wAw?Aw??W??eAe?Ae??E?SC??V(?x)2(?x)2we????
记为
aP?P?aW?W?aE?E?b (1-98)
式中：
?w(?u)w?a?A?Aw?W(?x)w2w???e(?u)e?aE?Ae?Ae(?x)e2??? (1-99) ?e?w?a?A?A?S??VP?P(?x)e(?x)wew??(?u)e(?u)wAe?Aw?SP??V??aE?aW?22??b?S??VC??对于一维问题，控制体积界面e和w处的面积Ae和Aw均为1，即单位面积。这样?V??x，式(1-99)中各系数可转化为
?w(?u)w?a??W?(?x)w2???e(?u)e??aE? (1-100) (?x)e2???aP?aE?aW?(?u)e?(?u)w?SP??x?22?b?S??xC?方程(1-98)即为方程(1-90)的离散形式，每个节点上都可建立此离散方程，通过求解方
程组，就可得到各物理量在各节点处的值。
为了后续讨论的方便，定义两个新的物理量F和D，其中F表示通过界面上单位面积的对流质量通量(convective mass flux)，简称对流质量流量，D表示界面的扩散传导性(diffusion conductance)。定义表达式如下：
?F??u?? (1-101) ?D???x?这样，F和D在控制界面上的值分别为
?Fw?(?u)w,Fe?(?u)e??w?e (1-102) ?D?,D?e?w(?x)(?x)ew?在此基础上，定义一维单元的Peclet数Pe如下： F?u (1-103) Pe??D?/?x式中：Pe表示对流与扩散的强度之比。当Pe数为0时，对流-扩散演变为纯扩散问题，即流场中没有流动，只有扩散；当Pe>0时，流体沿x方向流动，当Pe数很大时，对流-扩散问题演变为纯对流问题。一般在中心差分格式中，有Pe<2的要求。
将式(1-101)代入方程(1-100)，有
Fw?a?D?Ww?2??a?D?Fe?Ee (1-104) 2??FF?aP?aE?aW?e?w?SP??x22???b?SC??x对于瞬态问题，与稳态问题相似，主要是瞬态项的离散。其一维瞬态问题的通用控制
方程如下：
?(??)?(?u?)???????????S (1-105) ?t?x?x??x?该方程是一个包含瞬态及源项的对流-扩散方程。从左到右，方程中的各项分别是瞬态
项、对流项、扩散项及源项。方程中的?是广义变量，如速度分量、温度、浓度等，?为相应于?的广义扩散系数，S为广义源项。
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