CFD 基 础（流体力学）

对于瞬态问题用有限体积法求解时，在将控制方程对控制体积作空间积分的同时，还必须对时间间隔?t作时间积分。对控制体积所作的空间积分与稳态问题相同，这里仅叙述对时间的积分。

将方程(1-105)在一维计算网格上对时间及控制体积进行积分，有

t??tt??t?(??)?(?u?)dVdt??t??V?t?t??V?xdVdt (1-106)

t??tt??t???????t????dVdt??t?SdVdt?x?x???V?V改写后，有

t??t?t??t?(??)?dtdV?[(?u?A)e?(?u?A)w]dt??V????tt?t????tt??tt??t??d???d??????A????A??dt??tS?Vdtdx?e?dx?w??? (1-107)

式中：A是图1-2中控制体积P的界面处的面积。

在处理瞬态项时，假定物理量?在整个控制体积P上均具有节点处值?P，并用线性插

0)/?t来表示??/?t。源项也分解为线性方式S?Sc?SP?P。对流项和扩散项的值值(?P??P按中心差分格式通过节点处的值来表示，则有

t??t????P????E0?(?P??P)?V??t?(?u)eAeP?(?u)wAwW?dt22?? (1-108)

??t??t?t??t??E??P???P??W????t??eAe????wAw???dt??t(Sc?SP?P)?Vdt(?x)(?x)??e?W?????假定变量?P对时间的积分为

?t??tt?Pdt?[f?P?(1?f)?P0]?t (1-109)

式中：上标0代表t时刻；?P是时刻的值；f为0与1之间的加权因子，当f=0时，变量取老值进行时间积分，当f=1时，变量采用新值进行时间积分。

将?P、?E、?W及SC?SP?P采用类似式(1-109)进行时间积分，式(1-108)可写成

???P????E?V??f?(?u)eAeP?(?u)wAwW??t22???0000???W??P?P??E(1?f)?(?u)eAe?(?u)wAw?22??0?(?P??P)?????P???P??W??f??eAe?E??A?ww???(?x)e??(?x)W?????????? (1-110)

0000???E???P????W??P??(1?f)??eAe???A????ww???(?x)e??(?x)W????0[f(SC?SP?P)?(1?f)?(Sc?SP?P)]?V整理后得

????eAe?wAw??(?u)eAe(?u)wAw???V???f??f??fS?V???P??P?2??t2(?x)(?x)????eW?????(?u)wAw?wAw?0????[f?W?(1?f)?W]?2(?x)W????eAe(?u)eAe?0???[f?E?(1?f)?E]?2??(?x)e???eAe(?u)eAe???V??(1?f)??????t(?x)2?e????0?(?u)wAw(?u)wAw?(1?f)???(1?f)S?V??P?SC?VP?22??? (1-111)

同样引入稳态中关于符号F和D的定义，并将原来的定义作一定扩展，即乘以面积

A，有

?Fw?(?u)wAw,Fe?(?u)eAe? (1-112) ?wAw?eAe?D?,D?e?w(?x)(?x)ew?将式(1-112)代入方程(1-111)，得

??V???t?f(De?Dw)????FF?f?e?w??fSP?V??P2??2?F??F??00??w?Dw?[f?W?(1?f)?W]??De?e?[f?E?(1?f)?E]? 2??2????VF?F??0???(1?f)?De?e??(1?f)?Dw?w??(1?f)SP?V??P????t22??????(1-113)

SC?V同样也像稳态问题引入aP、aW和aE，式(1-113)变为

00aP?P?aW[f?W?(1?f)?W]?aE[f?E?(1?f)?E]???VF?F??0???(1?f)?De?e??(1?f)?Dw?w??(1?f)SP?V??P? (1-114) ???t22??????SC?V式中：

?aP?aP0?f(aE?aW)?f(Fe?Fw)?fSP?V??a?D?Fww?W2? ?Fea?D??Ee2??V?0a??P??t?(1-115)

根据f的取值，瞬态问题对时间的积分有几种方案，当f=0时，变量的初值出现在方程(1-114)的右端，从而可直接求出在现时刻的未知变量值，这种方案称为显式时间积分方案。当0

进一步将一维问题扩展为二维与三维问题。在二维问题中，计算区域离散如图1-4所示。发现只是增加第二坐标y，控制体积增加的上下界面，分别用n(north)和s(south)表示，相应的两个邻点记为N和S。在全隐式时间积分方案下的二维瞬态对流-扩散问题的离散方程为

aP?P?aW?W?aE?E?aN?N?aS?S?b (1-116)

式中：

0?aP?ap?aE?aW?aS?aN?(Fe?Fw)?(Fn?Fs)?SP?V??aW?Dw?max(0,Fw)??aE?De?max(0,?Fe)??aS?Ds?max(0,Fs) (1-117) ??aN?Dn?max(0,?Fn)??00?Va??P?P?t?00??b?SC?V?aP??P在三维问题中，计算区域离散如图1-4所示(两个方向的投影)。在二维的基础上增加第

三坐标z，控制体积增加的前后界面，分别用t(top)和b(bottom)表示，相应的两个邻点记为T和B。在全隐式时间积分方案下的三维瞬态对流-扩散问题的离散方程为

aP?P?aW?W?aE?E?aN?N?aS?S?aT?T?aB?B?b (1-118)

式中：

?aP?aP0?aE?aW?aS?aN?(Fe?Fw)?(Fn?Fs)??(Ft?Fb)?SP?V??aW?Dw?max(0,Fw)??aE?De?max(0,?Fe)?a?D?max(0,F)Sss?? (1-119) ?aN?Dn?max(0,?Fn)??aT?Dt?max(0,?Ft)?aB?Db?max(0,Fb)??a0??0?VP?P?t?00??b?SC?V?aP??P

控制体积边界控制体积边界节点节点NnWwsSWwTtyddy ee ee bBdx dxdx dx dzzPEPE控制体积控制体积 图1-4

1.3.3 有限体积法中常用的离散格式

1. 常用的离散格式

有限体积法常用的离散格式有：中心差分格式、一阶迎风格式、混合格式、指数格式、乘方格式、二阶迎风格式、QUICK格式。各种离散格式对一维、稳态、无源项的对流-扩

散问题的通用控制方程(1-120)均能得到式(1-121)的形式。对于高阶情况如式(1-122)所示。

d(?u?)d?d?????? (1-120) dxdx?dx?aP?P?aW?W?aE?E (1-121)

aP?P?aW?W?aWW?WW?aE?E?aEE?EE (1-122)

式中，对于一阶情况，aP?aW?aE?(Fe?Fw)，对于二阶情况，aP?aW?aE?aWW?aEE? (Fe?Fw)，其中系数aW和aE取决于所使用的离散格式(高阶还有aWW和aEE)。为了便于比

较和编程计算，将各种离散格式的系数总结于表1-2中。

表1-2 不同离散格式下系数aW和aE的计算公式

离散格式 中心差分格式 一阶迎风格式 混合格式 Dw?Fw 2系数aW De?Fe 2系数aE Dw?max(Fw,0) De?max(0,?Fe) ??F??max?Fw,?Dw?w?,0? 2????Fwexp(Fw/Dw) exp(Fw/Dw)?1?F???max??Fe,?De?e?,0? 2????Fe exp(Fe/De)?1指数格式