成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右） 第一章、函数、极限和连续（22分左右）
第一节、函数（不单独考，了解即可） 一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如：y?lnsin2x是由y?lnu，u?v和v?sinx这三个简单函数复合而成. 例如：y?arctane3x是由y?arctanu，u?e和v?3x这三个简单函数复合而成. 该部分是后面求导的关键！
v2二、基本初等函数：
?x（1）常值函数：y?c （2）幂函数：y?x （3）指数函数：y?a(a〉0,且a?1)
（4）对数函数：y?logax(a〉0,且a?1)
（5）三角函数：y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx，y?secx，y?cscx （6）反三角函数：y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx 其中： （正割函数）secx?11 ， （余割函数）cscx? cosxsinx三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初
等函数。他是高等数学的主要研究对象！
第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）
一、无穷小
1、定义：以0为极限的量称为无穷小量。
注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。
（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。
2例1：极限limx?1?0，即当x?1时，变量x?1是无穷小；
x?1?2?但是当x?0时，x?1就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。
例2：下例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（ ）.
11x?32A、sin (x?0) B、ex (x?0) C、ln?1?x?(x?0) D、2?x?3?
x?9x2
E、1?cosx(x?0) F、2?1(x?0) G、
x1?x?1?(x?1) H、2sinx(x?0) x答案：选C、E、F、H ，因为上述选项的极限值均为零！
二、无穷大
1、定义：当x?xo（或x??）时，f(x)无限地增大或无限减小，则称f(x)是当x?xo（或x??）的无穷大。
注意：（1）无穷大是变量，不能与很大的常量混为一谈。
（2）无限增大是正无穷大（??），无限减小是负无穷大（??）。
三、无穷小和无穷大的关系：若f(x)为无穷大，则
1为无穷大 f(x)1为无穷小；若f(x)为无穷小（f(x)?0），则f(x)1为无穷大。 x2?41 当x??时，2x?1为无穷大，则为无穷小。
2x?1例如：当x?2时，x?4为无穷小，则
2
第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到）
一、直接代入
法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将x0代入到函数表达式中，函数值即是极限值。
注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关.即limC?C，C为任意常数
（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对x?x0的时候，而x??时则不能用代入法，因为?是变量，并非实数！ 例1：lim4?4 ，lim?3??3 ，limlg2?lg2 ，lim??? ，lim0?0
x???x??1x??x??x?100677x3?123?1例2：lim2=lim2=lim=?
x?2?3x?2x?5x?3x?22?5?2?330例3：lim(e?sinx)=lime?sin0=1?0?1
x?0xx?0??3?30x2?3例4：lim2=lim=?0
x?3x?1x?33?14
二、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题！）
0?1、未定式定义：我们把、，，???，1?等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可
0?能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。
注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。
2、四则运算中常见的几个未定式和确定式
0 为未定式 0?（2）???为未定式， ???为未定式， ?????， 为未定式
?上述和下述的0都代表无穷小，即极限值为零的量。
（1）0?0?0， 0?0?0， 0?0?0，
3、几个重要未定式的计算方法
0（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将x0代入后函数值即是极限值。（对于分
0子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式） （2）对于
?未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系?00进行计算。
（3）对于???未定式：先通分将???转化成或
?0?的形式，然后再用上述或的计算方法进行计算。
0??x2?2x?10例1：计算lim. ………未定式，提取公因式 2x?10x?1x?1?0?x?1??lim解：原式==lim=?0
x?1?x?1??x?1?x?1?x?1?2x3?80例2：计算lim. ………未定式，提取公因式
x?2x?20(x?2)(x2?2x?4)2解：原式= lim= lim(x?2x?4)?12
x?2x?2x?201?3x2?1例3：计算lim. ……… 未定式，先去根号再提取公因式
x?00x2解：原式=limx?02(1?3x2?1)(1?3x2?1)x2(1?3x2?1)=limx?03x2x2(1?3x2?1)=limx?03
21?3x?123=
?3x2?2x?13x例4：计算lim3. ………未定式，分子分母同除以
x??2x?x2?5?321?2?3x=0?0 ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 解：原式=limxxx??1522??3xx?n2?3??例5：计算lim?2. ………未定式，先求极限再开三次方 ?n??2n?1???3
?3?31????n2?3???n2lim解：原式=?lim?2=???n???n??2n?11??????2?2?n??例6：计算lim????????????3?1?1=??= ?2?834??1?2?. ………???未定式，先通分，后计算 x??2x?2x?4??解：原式=limx?2?4x?211x?2limlim?==== limx??2x2?4x??2x2?4x??2x?2x??2x?24???x?2?注意常用的几个代数转换公式： a2?b2??a?b??a?b?
2a3?b3??a?b??a2?ab?b2? a3?b3??a??b?a?ab??2 b
三、利用两个重要的极限 （重点掌握公式?，一般考选择、填空）
sinx1、公式?：lim=1 （把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换） x?0x1?1?2、公式?：lim?1??=e 或 lim?1?x?x=e
x?0x???x?x（1）适用范围：一般用于“1” 未定式的极限式
（2）解题方法： 通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量x用新变量t的进行代换，然后转化为公式?的形式，最后进行计算。 注意：由于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。
例1：计算lim?1?3x?. ……1未定式，先换元然后用公式?求解
??1xx?0解：令t??3x，得x??，即
t313?? ……将复杂的变量?3x换元成新变量t xt?3当x?0时，t?0 ……求出新变量的变化趋势 所以原式=lim?1?t?t?0?3t=
1??lim??1?t?t?=e?3 ……转换成新变量的极限式后再用公式求 t?0??x?11??例2：计算lim?1??x???2x?解：令t??
. ……1未定式，先换元然后用公式?求解
?111，得x??，即x?1???1 ……先换元 2x2t2t当x??时，t?0 ……求出新变量的变化趋势
所以原式=lim?1?t?t?01??12t=
lim?1?t?t?01?2t???lim(1?t)1=lim??1?t??t?0t?0??1t?12?1=e
?12
四、利用等价无穷小的代换求极限（重点、每年必考一题！） 1、等价无穷小的定义：
设?和?是同一变化过程中的两个无穷小，即lim??lim??0 如果lim
?=1，称?与?是等价无穷小，记作?～?. ?sinx=1 ，所以当x?0时，sinx与x是等价无穷小.
x?0xf(x)1例2：当x?0时，函数f(x)与tanx是等价无穷小，则lim= .
x?02tanx22、用等价无穷小的代换求极限
?'''（1）定理：设?、?、?、?'均为无穷小，又?～?，?～?'，且lim存在
?'??'则lim=lim 或 lim????lim?'??'
??'例1：由公式?可知极限lim注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。 （2）常用的等价无穷小代换（7个）：当x?0时，1?cosx～
12x，ln(1?x)～x， 2ex?1～x，sinx～x, tanx～x, arcsinx～x, arctanx～x, ,
注意：这7个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是x?0的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！
例1：当x?0时，sin2x～2x，tan(?3x)～?3x, arcsin(?x)～?x, arctan4x～4x,
221cosx?1～?x2，1?cos2x～2x2，ln(1?2x)～?2x，e5x?1～5x
2sin2x2x22例2：极限lim=lim=lim= ………sin2x用2x等价代换
x?0x?05xx?055x5tan3x3x 极限lim=lim=lim3?3 ………tan3x用3x等价代换
x?0x?0xxx?01?cos2x例3：计算lim.
x?0x?sinx解：当x?0时，1?cos2x～2x，sinx～x ………等价代换
22x2所以原式=lim2=lim2=2 ………计算
x?0x?0x
相关推荐：
loading