高中数学竞赛平面几何讲义

12．平行四边形ABCD（非矩形和菱形）中，CM⊥AD于M，CN⊥AB于N，NM与BD延长交于点P。求证：PC⊥AC。

PANMD

13．已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。过A、B分别作邻边AD和BC的垂线交于E点。求证：E、O、P三点共线。

DCBCPOBAE

14．M为AC上任一点，BM延长交圆O于P，过P作CP垂线交OM延长线于Q。 求证：BA⊥AQ。

APMQOBC

15．已知E是矩形ABCD对角线AC上一点，且BE＝2AE。求证：∠CDE＝2∠ABE。

BCEAD

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16．△ABC中，AB＝2AC，AH是高，M是AC中点，HM、BA延长交于D。求证：BC

＝CD。

DAMBHC

17．△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且CD＝2AD，M是AD中点。

求证：∠BMD＋2∠CAD＝180°。

AMBDC

18．AB、AC是圆O的切线，CD交AB于E，AD交圆O于F。若CD＝DE，求证：BF∥CE。

AEDBOCF

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19．设以O为圆心的圆经过△ABC（AB≠BC）的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别

交于K和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证：∠OMB＝90°。（1985年第26届IMO）

BMKNOAC

20．在△OAB与△OCD中，OA＝OB， OC＝OD，直线AB与CD相交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证: OQ⊥PQ。

QPDBAOC

21．已知I是△ABC的内心，ID⊥BC于D，AI交△ABC的外接圆于S，SD延长交外

接圆于P。求证：∠API是直角。

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APIBDCS22．已知E、F分别在△ABC的AC、AB边上，且∠BEC＝∠BFC，BE、CF交于D，

⊙AEF交△ABC的外接圆于另一点M。求证：AM⊥MD。

AMEFD

BC

23．E、F分别在Rt△ABC的直角边AC、AB边上，BE、CF交于D，圆AEF交外接

圆于P。求证：AP⊥PD。

AFEDBCP

24．已知P是矩形ABCD内任意一点，BP延长交DC于E，DP延长交BC于F，AP

延长交外接圆于G。求证：EG⊥FG。

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ADEPBFCG

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