高二立体几何新课+直线方程复习
一、平面的基本性质
1.平面的特征：无限伸展，没有厚度.
2.公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有点都在这个平面内.
3.公理二：如果两个平面有一个公共点，那么，它们还有其他公共点，且所有这些公共点的
集合是一条过这个公共点的直线.
4.公理三：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
5.推论一：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
6.推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
7.推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理一的作用：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据
（2）证明点在某平面内的依据 （3）检验某面是否平面的依据
公理二的作用：（1）作为判断和证明两平面否相交
（2）证明点在某直线上 （3）证明三点共线
公理三及其推论的作用：是空间中确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据. 例1.已知直线l1,l2,l3两两相交，且三线不共点.求证：直线l1,l2和l3在同一平面上. 【证明】：设l1?l3?A,l2?l3?B,l1?l2?C,?l1?l3?A,
??（推论2）l1,l3可确定平面????C?平面??C?l1?l2?C?l1???同理B?平面??（公理1）?BC?平面?即l3?平面??直线l1,l2,l3,在同一平面上
已知：l1,l2,l3,l4两两相交且无三线共点。求证：l1,l2,l3,l4在同一平面上【证明】：设l1?l3?A,l2?l3?B,l1?l2?C,l3?l4?D,l2?l4?E?l1?l2?C?l1与l2确定平面???A???AB?????又?l1?l3?A，l2?l3?B??B???l3????l4?l3?D??DE?平面??l4??l4?l2?E???四线共面
?l1,l2?平面?
例2.（★★★）已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交，求证：l与a、b、c共面.
K][来源:学。科。网Z。X。X。解题策略：同一法 【证明】：如图设a?d ?a||b,?A,b?d?B,c?d?C
A?BCdbc?a、b可确定一个平面?
a?A?a,B?b,?A??,B???AB??,即d???b||c,?b、c可确定一个平面? 同理可证d??.
??、?均过相交直线b、d??、?重合，a、b、c、d共面例（★★★）在正方体3.ABCD?A1B1C1D1中P、Q、R分别在棱AB,BB1,CC1上，且DP,QR相交于O。求证：O、B、C三点共线
A1D1B1C1RDAPQCBO图（例3）
【证明】：?DP?QR?O?O?直线DP???O?平面ABCD又?DP?平面ABCD?又?O?QR,直线QR?平面BB1C1C?O?平面BB1C1C??又?平面ABCD?平面BB1C1C?BC?
?O?BC?O、B、C三点共线例4.已知?ABC在平面?外，
AB???P,AC???Q,BC???R.
A
求证：P、Q、R三点共线
B
P
? C
Q
?
R 直线AB?直线ACA??直线AB、AC【证明】：
确定平面???AB??P????PQ????AC??Q??
?BC???R?????B??C?直线AC???????
C??BC???RR?直线BC???AB??，AC????源:Z&xx&k.Com]?B?直线AB[来
R????????R?PQ?P、Q、R三点共线
????PQ?
例（★★★）空间四边形5.ABCD中，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA上的点，已知EF与HG相交于Q点.求证：EF、HG、AC三点共线
E B
F A H D G C
Q
?EF?平面ABC?E?AB???Q?平面ABCQ?平面ABC?平面ACD?证：??同理HG?平面ACD????F?BC?Q?平面ACD平面ABC?平面ACD?AC???EF?HG?Q??Q?AC即EF、HG、AC三线共点二、空间直线与直线的位置关系
（一）异面直线
1、定义：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线. 2、与平行直线、相交直线的区别：
相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点. 平行直线：在同一平面内，没有公共点. 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 3、异面直线的画法：
b a α
β
b
b a a α
α
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