x f′(x) f(x) (－∞，－＋ ↗ a) －0 a (－a，a) － ↘ 32；
a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ ↗ 极大值 由此可得，函数在x＝－在x＝2+2aa处取得极大值f(－a)＝322－2a. a处取得极小值f(a)＝根据列表讨论，可作函数的草图(如图)：
因为极大值f(－a)＝2+2a3232>0，
3ax＋2＝0有三个不同的实根； 故当极小值f(a)＝2－2a<0，即a>1时，方程x－当极小值f(a)＝2－2a>0，即0 【总结升华】通过学习利用导数研究函数的极值与最值，结合以前所掌握的研究函数的奇偶性与单调性的 方法，给定一个函数，其图像的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前．一些数学问题便能顺利解决． 方程根的个数或者说函数零点的个数问题即是数形结合思想在导数中的一个具体的应用． 举一反三： 【变式1】设函数(1)求函数 323f?x?＝x3－6x＋5，x?R. f?x?的单调区间和极值； f?x?＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围． (2)若关于x的方程【解析】 【变式2】直线y＝a与函数y＝x－3x的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是________． 【答案】（－2，2） 类型六：导数的实际应用 例8. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 【思路点拨】选取一个控制变量，建立体积的函数是本题的第一个关键. 【解析】设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为： 3h?18?12x?4.5?3x(m)43???0＜x＜?. 2??3(0＜x＜). 22233故长方体的体积为V(x)?2x(4.5?3x)?9x?6x(m)从而V?(x)?18x?18x(4.5?3x)?18x(1?x). 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1， ∴x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜ 2时，V′（x）＜0， 32故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值. 最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3. 【总结升华】 生活中的优化问题，大多可以建立目标函数.本题的目标函数为高次多项式函数，采用导数法可解. 同时要格外注意实际意义对定义域的影响； 举一反三： 【变式1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= 购地总费用） 建筑总面积 【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)，则 f(x)?(560?48x)? f'(x)?48?2160?1000010800?560?48x?(x?10,x?N)． 2000xx10800，令f'(x)?0，得x=15． x2 当x＞15时，f'(x)?0，当10≤x＜15时，f'(x)?0． 因此，当x=15时，f(x)取得最小值f(15)?2000． 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 【变式2】一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 【解析】
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