2021年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题及参考答案

2019 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题

参考答案及评分标准

说明：

1、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档；第 9 题 4 分一个档次、 第 10 题和第 11 题均为 5 分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.

2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

8、1346.

13 288

二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1、?3 2、 2

3、8 4、

18

? ?、12

6、6 ? 6 ln 6 7、

1

9.（本题满分 16 分）设点 A 的坐标为(0, 3) ，点 B, C 为圆O ： x? y? 25 上的两动点，满足?BAC ? 90，求△ ABC 面积的最大值.

解：如图，设 B(x1, y1 ), C(x2 , y2 ) ， P(x, y) 为线段 BC 的中点.

2

则 1

?

2 2

x? y? 25 ①

2 1

y

2 2 x2 ? y2 ? 25 ②

A

x1 x2 ? ( y1 ? 3)( y2 ? 3) ? 0 ③

O1 B O x x1 ? x2 ? 2x, y1 ? y2 ? 2 y ④

P 由①、②、③、④可知：

3

x2 ? y2 ? 3y ? 8 ，即 x2 ? ( y ? )2 ? ( 41)2 .

2 2

所以，线段 BC 的中点 P 的轨迹是?O ，其方程为： x? ( y ? )? (

C

2

1

3

2

41

)2 . ……4 分

2 2

3 ?41 , ……8 分 于是| AP |?| AO1 | ? | O1P |? ??

2 2 1 1 1 2 2 2 2

从而△ ABC 面积S ? | AB | ? | AC | ? (| AB |? | AC |) ? | BC |?| AP |

2 4 4

4125 ? 3 41 2 ? ( ??)? 2 2 2

3

……12 分

当点 P 的坐标为(0,

3 ? 41 ) 时，可取到等号.

2

……16 分

41 25 ? 3

所以，△ ABC 面积的最大值是 .

2

10.（本题满分 20 分）设a, b, c ?(0,1] ，

为实数，使得

恒成立，求 的最大值.

3 ? 1? (1? a)(1? b)(1? c)

a ? b ? c 解：取a ? b ? c ? 时， ?

1 64

. ……5 分

4

27

3

? 1?

64

(1? a)(1? b)(1? c) 27

……10 分

下证： ? 64 27

满足条件，即证 a ? b ? c a ? b ? c 3

注意到： (1? a)(1? b)(1? c) ? (1? )

3

令a ? b ? c ? 3x，其中 x ? 0 ，则0 ? x ? 1. 只须证 ? 1? 2

1 64

(1? x2 )3

x 27 1? x 64 ? ? (1? x)3 (1? x)3

x 27 64

? 1 ? x(1? x)2 (1? x)3

27

由均值不等式知：

2

3

2

……15 分

1? x 3

x ? 2(1? x) ? 3(

x ?1) 3 6

) ??

27

3 6

64 2 3 64 27 于是 x(1? x)(1? x)? ? ? 1，故（*）成立. 27 27 64

64

综上可知， 的最大值是 .

27

x(1? x) (1? x) ? 27x(1? x) ( ) ? 27(

64

……20 分