宏博名师堂一对一讲义 高中数学
课题 函数专题复习（1）
第一部分 知识点梳理
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
a?ba2?b2⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ab?； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝?22对值的意义等）；⑧导数法
3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数y?f(u)； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数?f(－x)=－f(x)；f(x)是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：
①f(x)在区间M上是增函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)； ②f(x)在区间M上是减函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)； ⑵单调性的判定
① 定义法：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。
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7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）与周期有关的结论
f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期为2a；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：y?x? （??R) ；⑵指数函数：y?ax(a?0,a?1)； ⑶对数函数:y?logax(a?0,a?1)；⑷正弦函数:y?sinx；
2⑸余弦函数：y?cosx ；（6）正切函数：y?tanx；⑺一元二次函数：ax?bx?c?0；
⑻其它常用函数：
① 正比例函数：y?kx(k?0)；②反比例函数：y?9．二次函数： ⑴解析式：
① 一般式：f(x)?ax2?bx?c；②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k，(h,k)为顶点； ③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
ka(k?0)；③函数y?x?(a?0)； xx?b4ac?b2b二次函数y?ax?bx?c的图象的对称轴方程是x??，顶点坐标是???2a，4a2a?2???。 ?10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)y?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+”右“－”； ⅱ)y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)———上“+”下“－”；
??y??f(?x)；ⅱy?f(x)???y??f(x)； ② 对称变换：ⅰy?f(x)???x?f(y)； ⅲ y?f(x)???y?f(?x)； ⅳy?f(x)???③ 翻转变换：
ⅰ)y?f(x)?y?f(|x|)———右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱ)y?f(x)?y?|f(x)|———上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；
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第二部分 题型归类讲析
一，函数的解析式及定义域
?x2,x?0例1.已知函数f(x)?2x?1，g(x)??，求f?g(x)?和g?f(x)?的解析式
??1,x?0
例2.?1?已知f(x?)?x?312f(?1)?lgx，求f(x)； f(x)，求；已知2??x3x?3?已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)；
1x?4?已知f(x)满足2f(x)?f(x)?3x，求f(x)；
?5?函数f(x)对一切实数x、y均有f(x?y)?f(y)??x?2y?1?x成立，且f(1)?0，
①求f(0)；②求f(x)
1
例3. ?1? 函数f(x)?3x21?x?lg(3x?1)的定义域是
13113313 A.(?,??) B.(?,1) C.(?,) D.(??,?)
13?2?已知函数f(x)?1?x的定义域为A，函数y?1?xf??f?x???的定义域为B，则
A.A?B?B B.AüB C.A?B D.A?B?B
?3?若函数f(3?2x)的定义域为??1,2?，则函数f(x)的定义域是
A. [?
51B.??1,2? C. ??1,5? D.[,2] ,?1]
22?4?已知函数f(x?1)的定义域为??2,3?，则f?2x?1?的定义域是
?5?A.?0,? B. ??1,4? C. ??5,5? D. ??3,7? ?2?
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二，函数的值域与最值
例4．求下列函数的值域：
?1?y?3x2?x?2； ?2?y??x2?6x?5；?3?y?3x?1； x?22x2?x?2；； ?4?y?2x?3?4x?13；?5? y?|x?1|?|x?4|； （6）y?2x?x?1
例5．?1?求函数y?log1x2?4x?5的值域；
??2?2?已知 f(x)?2?log3x，x??1,3?，求函数y??f(x)??3?若函数f(x)的值域为??
三，函数的奇偶性
2?f?x2?的值域;
34?,?，求y?f(x)?1?2f(x)的值域. 8?9?例6已知函数f(x)?ax?bx?c,x???2a?3,1?是偶函数,则a?b?
21?m为奇函数，则f(?1)的值为 2x?1例8已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7，则f(7)?_______
例7已知f(x)?
四，函数的单调性
例9．已知函数f(x)?
ax?1在区间(?2,??)上是增函数，试求a的取值范围 x?2
例10．求下列函数的单调区间：
?1?
y?log0.7(x2?3x?2) ?2?y?8?2x?x2 2例11．?1?若函数y?f(x)在R单调递增，且f(m)?f(?m)，则实数m的取值范围是
A.???,?1? B.?0,??? C.??1,0? D.???,?1???0,???
?2?若f?x??x?2?lg1?x,则不等式f?x??x???黄鹤 huanghe1023@qq.com tel: 13986539757
11?x?1??1??＜的解集为 2??2
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