重难增分训练（四） 立体几何的创新问题
1．(2017·江西模拟)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠
BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A-BCD，则在四面体A-BCD中，下列说法正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BCD D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥
CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥
AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选D.
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1
上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为( )
B.2
D.
3 2
C.22
A．1
解析：选A 由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM1
＝AA1＝1.
2
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并总是保持AP⊥BD1，则
动点P的轨迹是( )
A．线段B1C B．线段BC1
C．线段BB1的中点与CC1的中点连成的线段 D．线段BC的中点与B1C1的中点连成的线段
解析：选A 设点P是侧面BCC1B1或其边界上的任意一点，连接
AP，AB1，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥AB1，又AP⊥BD1，所
以，BD1⊥平面AB1P，同理，BD1⊥平面ACP.所以，平面AB1P与平面ACP 重合，所以P点的轨迹是B1C，故选A.
4．(2018届高三·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，
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将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的个数是( )
①存在点E，使得直线SA⊥平面SBC; ②平面SBC内存在直线与SA平行； ③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．
D．3
A．0 B．1 C．2
解析：选B 由题意，得SA⊥SE，若存在点E，使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥
SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选
B.
5.如图，△PAD是正三角形，四边形ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，点M为平面ABCD内的一个动点，MP＝MC，则点M在正方
形内的轨迹是( )
解析：选A 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，设M(x，y)，作PG⊥AD于G，
MQ⊥AD于Q，连接GM，设AB＝1，则PM＝
1－x2＋
?y－1?2＋x2＋3，MC＝?2?4??
?y－1?2＋x2＋3＝
?2?4??
1－y2.所以，由MP＝MC得 1－x2＋
1－y2，化简得y＝－2x＋1，故选A.
6.(2018届高三·浙江名校联考)棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段
上的动点，则△PEQ周长的最小值为( )
B.10 D．23
A．22C.11
B1C解析：选B 在CC1的延长线上取一点M，使MC1＝C1E，记BC的中点为N，连接PM，MN，QN(如图所示)，则PE＝PM，QE＝QN，所以△PEQ的周长L＝PQ＋PE＋QE＝PQ＋PM＋QN≥MN＝12＋32＝10，
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故选B.
7．(2017·湖北荆州中学月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，记折起后的D为D1，且D1在平面ABC内的射影恰好落在AB上，在四面体D1-ABC的四个面
中，有n对平面相互垂直，则n等于( )
D．5
B．3 C．4
A．2
解析：选B 如图，设D1在平面ABC内的射影为E，连接D1E，则⊥平面ABC，∵D1E?平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面
ABC，BC?平面ABC，
∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC?平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1.∵BC⊥平面ABD1，AD1?平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面
BCD1，又AD1?平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3对平面互相垂直．故选B.
8．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体
中相互异面的有________对．
D1E
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后各元素相对位置的变化，AB，CD，EF和GH在原正方
体中如图，有AB与CD，EF与GH，AB和GH三对异面直线．
答案：3
9．(2017·河北质检)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于
________．
解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则
BN⊥平面AEFD.设M在平面ABB1A1中的射影为O，连接MO，过MO与平
面AEFD平行的平面为α，所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等．又矩形AEFD的周长为2＋
5，所以所求轨迹的周长为2＋5.
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答案：2＋5
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂
足，设AK＝t，则t的取值范围是________．
解析：极端位置法．当F位于DC的中点时(如图1)，△ADF≌△AFK，这时t＝1；
图1 图2
当F点与C点重合时(如图2)，
∵CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，对于CD＝2，BC＝1，∴BD＝3，又AD1?1? ＝1，AB＝2，因此有AD⊥BD，则有t＝，因此t的取值范围是?，1?.2?2?
?1? 答案：?，1?
?2?
―→―→―→―→
11．正四面体OABC，其棱长为1，若OP＝xOA＋yOB＋zOC (0≤x，y，z≤1)，且满足x＋y＋z≥1，则正四面体的体积为________，动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为
________．
解析：先确定动点P的轨迹，再求解对应的空间区域体积．当x＝1时，点P对应的轨迹是过点A且与平面OBC平行的平面；当y＝1时，点P对应的轨迹是过点B且与平面OAC平行的平面；当z＝1时，点P对应的轨迹是过点C且与平面OAB平行的平面．又x＋y＋z≥1，则点P对应的轨迹在平面ABC的外面，所以满足0≤x，y，z≤1，x＋y＋z≥1的点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC的部分．易求得棱长为1的正四面体的高为
212
，故所求的体积为
6
，体积为3
36252×－＝.231212
答案：
252
1212
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