泰勒公式在若干数学分支中的应用

泰勒公式在若干数学分支中的应用

周小哲

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，是拉格朗日中值定理的一个推广，它包含了丰富的数学思想，包括：整体与部分，具体与抽象，近似与精确，虚与实，确定与不确定，已知与未知，一与多，变化与静止，简单与复杂的辨证关系，因此它为复杂的计算问题打开了简易之门，并且在数学、物理、经济等领域均有广泛的应用。本文章阐述了泰勒公式在各种数学分支的应用，并做了详细的归纳。例如本文介绍了泰勒公式在函数极限、函数极值、不等式证明、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等几个重要方面的具体应用，除此之外还对行列式计算、函数值的近似计算与误差估计以及金融数学债券定价作了介绍。由于泰勒公式的种种特殊性质，使泰勒公式在许多领域都有广泛的应用前景和推广价值，这无疑会给解决高等数学问题带来极大的方便。

关键词：数学分析 泰勒公式 极限 应用

Taylor Formula in certain mathematics branch application

Zhou Xiao zhe

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:The Taylor formula is in a mathematical analysis important formula,is a Lagrange theorem of mean promotion.It has contained the rich mathematics thought,including:Whole and part,concrete and abstract,approximate and precise,empty and solid,the determination and indefinite,known and unknown,one and many,change and static,simple and complex dialectical relations,so it has opened up the door of facility for difficult actuarial problem.It has very widely applications at mathematics,physics and economy domain.The text mainly expouds taylor formula’s applications in sloving mathematics problem,and give reader particular sum up.Example the text mainly introduce taylor formula’s application in limit of function,extreme value of function,proved some the inequality, The progression and the infinite integral collect the divergencejudgement, Definite integral computationIn addition, but also to the determinant computation, the functionvalue approximate calculation and the error estimate as well as thefinancial mathematics bond fixed price has made the introduction. Because Taylor formula all sorts of special nature, enable the Taylorformula all to have the widespread application prospect and thepromoted value at many domains, this can give the solution highermathematics question without doubt to bring enormous convenient.

Key word: Mathematical analysis Taylor formula limit application

引言

不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似表示一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便，一般说来，

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在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算，如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对统一计算与证明等一系列问题都有重要意义。

泰勒公式在各个数学分支中都起着无与伦比的作用，也为数学领域的许多问题开辟了道路，其实践意义是非常巨大的。

在代数中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用微积分的方法计算行列式极为少见，本文从泰勒公式入手，引入利用泰勒公式展开式计算行列式的方法，以之丰富行列式的计算方法。

在数学分析中，运用泰乐公式求极限有时会令较为繁琐的求解过程转化为简单明了的求解方法，除此之外，泰勒公式在函数极值、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等方面也有重要意义。

在高等数学中，常常要证明一些不等式，应用泰勒公式证明不等式很方便，在欲证明的不等式中含有一阶以上导数一般可用泰勒公式，特别是在一直某点的函数值（或导数值）的情况。

另外，在金融数学中，自20世纪90年代以来，VaR模型被广泛采用，在此模型中常见的计算方法——参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算的。并且泰勒公式在债券定价中也发挥着不可替代的作用，它促进了分析问题，解决问题及综合运用知识能力的提高。

一、泰勒公式

首先，由导数定义可知函数f在点x0处可导，则有

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f'?x0??limf?x??f?x0?x?x0?x?0 （1）

若limx?x0f?x??0，则称当x?x0时f为g的高阶无穷小量。记作：g?x?f?x????g?x???x?x0?

由（1）式得limx?x0f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??0

x?x0则有f?x??f?x0??f'?x0??x?x0????x?x0? 即f?x??f?x0??f'?x0??x?x0????x?x0?。

即在点x0附近，用一次多项式f?x0??f'?x0??x?x0?逼近函数f?x?时，其误差为?x?x0?的高阶无穷小量，然而取一次多项式逼近在很多时候是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并误差为

???x?x0??，其中n为多项式的次数，先讨论n次多项式函数

2nnpn?x??a0?a1?x?x0??a2?x?x0??...?an?x?x0?

逐次求它在点x0处的各阶导数，得到 pn?x0??a0，

p'n?x0??a1，

p''n?x0??2!a2n，…，

f'?x0?f''?x0?f???x0?2nTn?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0?，

1!2!n!即

np'n?x0?p''n?x0?p??n?x0?，a2=，…, an=. a0=pn?x0?，a1=1!2!n!由此可见，多项式pn?x?的各项系数由其在点x0的各阶导数值所唯一确定。

对于一般函数f，设它在点x0存在直到n阶的导数，有这些导数构造一个n次多项式

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f'?x0?f''?x0?f???x0?2nTn?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0?，

1!2!n!n称为函数f在点x0处的泰勒（Taylor）多项式，Tn?x?的各项系数

f?k?k!?x0??k?1,2,...,n?称为泰勒系数。

定理1.（泰勒定理）若函数f?x?在x0存在n阶导数，则对于

x???x0?，有

nf?x??Tn?x?????x?a?? （2） ??f'?x0?f''?x0?f???x0?2n其中Tn?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0?

1!2!n!n定理中（2）式称为函数f在点x0处的泰勒公式，f?x??Tn?x?称为

n泰勒公式的余项，记作Rn?x?，形如??x?a??的余项称为佩亚诺型???（Peano）余项.

特别是，当x0=0时泰勒公式的特殊形式：

f''?0?2f???0?nf?x??f?0??f'?0??x?x0??x?...?x???xn?称为（带有

2!n!n佩亚诺余项的）麦克劳林公式

定理2.若函数在?a,b?上存在直至n阶的连续导函数，在?a,b?内存在?n?1?阶导函数，则对任意给定的x，x0??a,b?,至少存在一点???a,b?,使得

f'?x0?f''?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1f?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0???x?x0?

1!2!n!?n?1?! 此式同样称为泰勒公式，它的余项为

f?n?1????n?1 Rn?x?=f?x??Tn?x?=?x?x0?，

?n?1?!?=x0+??x?x0??0???1?，称为拉格朗日型余项。所以上式又称为带有

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