形考作业1答案(高等数学基础电大形考作业一)

11lim(1?1x1x??2x)?limx??(1?2x)2x?2?e2

?1⒋若函数f(x)???(1?x)x,x?0，在x?0处连续，则k? e ．

??x?k,x?0分析：分段函数在分段点x0处连续?limf?x??limf?x??f?x0?

x?x0?x?x0?xlim?0?f?x??limx?0??x?k??0?k?k1 所以k?e

xlim?0?f?x??limx?0??1?x?x?e⒌函数y??1,x?0??x?sinx,x?0的间断点是 x?0(为第一类间断点)． 分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点

初等函数在其定义域范围内都是连续的

分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）

xlim?0?f?x??limx?0??x?1??0?1?1不等，所以x?0为其间断点

xlim?0?f?x??xlim?0?sinx?0⒍若limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为无穷小量 ．

x?x0分析：limx?x(f(x)?A)?limx?xf(x)?limA?A?A?0

00x?x0 所以f(x)?A为x?x0时的无穷小量

（三）计算题

⒈设函数

x)???exf(,x?0?x,x?0

求：f(?2),f(0),f(1)．

解：f??2???2，f?0??0，f?1??e1?e

⒉求函数y?lg2x?1x的定义域．

?2x?1?解：y?lg2x?1?x?0???1x有意义，要求?解得?x?或x?0

??x?0?2??x?0?

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则定义域为?x|x?0或x???1?? 2?⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R （其中，AB为梯形上底，下底CD与半园直径重合，O为园心，E为AB中点）

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE?OA2?OE2?R2?h2 则上底AB＝2AE?2R2?h2 故S?h2??2R?2R2?h2??h?R?R2?h2?

⒋求limsin3xx?0sin2x． （第4，5，6，7，9的极限还可用洛贝塔法则做）

sin3x?3xsin3x解：limsin3x3xx?0sin2x?limx?0sin2x?lim3xsin2x?3＝121?32?32

2x?2xx?02x2⒌求limx?1sin(x?1)．

x??1解：limx2?1sin(x?1)?(x?1)(x?1)?1??1?1?x??1limx??1sin(x?1)limx?x??1sin(x?1)1?2

x?1⒍求limtan3xx?0x．

解：limtan3x?limsin3xx?0xx?0x?1sin3x11cos3x?lim??3?1??3?3

x?03xcos3x1⒎求lim1?x2?1．

x?0sinx222解：lim1?x?1?lim(1?x?1)(1?x?1)2?limxx?0sinxx?0(1?x2?1)sinxx?0(1?x2?1)sinx ?limxx?0?0(1?x2?1)sinx?1?1??1?0

x 6

⒏求lim(x??x?1x?3)．

x11x1?x?1?(1?解：limx?11xx)[(1?)]1x??(x?3)x?limxx??()?limx3?lim?x?e?1?3??(1?xx??1x33e3?e?4

xx)[(1?x)]32⒐求limx?6x?84x2．

x??5x?42解：limx?6x?8x?2?2x?4x2?5x?4?lim?x?4??x?4?x?4??x?1??limx?x?4x?1?4?24?1?23

⒑设函数

?(x?2)2,x?1f(x)???x,?1?x?1

??x?1,x??1讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点x??1,x?1处讨论连续性 （1）

xlim??1?fx??xlim??1?x??1xlim??1?f?x??xlim??1?? x?1???1?1?0所以lim1?f?x??xlim??1?f?x?，即f?x?在x??1x??处不连续 （2）

22xlim?1?f?x??limx?1??x?2???1?2??1limf?x??

x?1?xlim?1?x?1f?1??1所以lim?f?x??limx?1?f?x??f?1?即f?x?在x?1x?1处连续 由（1）（2）得f?x?在除点x??1外均连续 故f?x?的连续区间为???,?1????1,???

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