第3讲圆的方程
-、选择题
1. 已知点/Ki, -D, 〃(一 1,1),则以线段为直径的圆的方程是
()
A. /+y=2 C. x+y = \\
解析的屮点坐标为(0, 0),
B. x+y=^2 D. x+y=4
\\AB\\ =寸［1_ _］『+ _1_1 2=2 曲 ?I圆的方程为x~ + y=2.
答案A
2. (2017?合肥模拟)圆(LlF+(y—2)J 1关于直线y=/对称的圆的方程为()
A. (^-2)2+(y-l)2=l C. (x+2)'+(y—1尸=1
B. (x+lF+U—2尸=1 D. {x—1)2 + (y+2) 2= 1
解析 已知圆的圆心Q(l,2)关于直线.尸北对称的点为厂(2, 1),???圆(才一1尸+@—2尸
=1关于直线尸/对称的圆的方程为(X—2)2+ (y—1尸=1,故选A.
答案A
3. 方程x +y+ax+2ciy+2a+a—l= 0表示圆，则实数日的取值范圉是(
A. (-8, —2) U^|, +8) B. ^―|, 0 C. (-2,0)
/
、
)
D.(_2, |j
2
2
解析 方程为(卄号)+(y+?=l—日一苧表示圆，则1—曰一牛>0,解得—2<^<|. 答案D
4. (2017 ?淄博调研)点户(4, —2)与圆/+/=4上任一点连线的中点的轨迹方程是
()
A. (^-2)2+(y+l)2=l C. (^+4)2+(y-2)2=4
B. (x-2)2+(y+l)2=4 D. (^+2)2+(y-l)2= 1
4 +Ao
心 2
解析 设圆上任一点为0(心，M), 〃的中点为3心，y),
y=
—2+必
解得
Ab=2x_4,
因为点0在圆/+/=4上，所以处+并=4,即(2^—4)2+ (2y+2尸=4,
?b=2y+2.
化简得(^-2)2+(y+l)2=l-
答案A
5. （2015 -全国II卷）己知三点水1,0）, 〃（0,萌），C（2,书），则△初C外接圆的圆心到
原点的距离为
A.|
解析 由点〃（0,羽），0（2,、/5）,得线段％的垂直平分线方程为x=l,① 由点力（1,0）,駅
联立①②，解得△血农外接圆的圆心坐标为
0,羽），得线段力〃的垂直平分线方程为
答案B 二、填空题
6. _______________________________________________________________ 若圆。经过坐标原点和点（4, 0）,且与直线y=l相切，则圆C的方程是 _____________________ . ____ 9
解析 设圆心。坐标为（2, Z?） （ZK0）,贝1」|方|+1=寸4 +方1解得b=_g半径r=\\b\\+l
其到原点的距离为 _5
故选B.
2
7. （2017 - r州模拟）已知圆G x+y + kx+2y=~k\\当圆C的面积収最大值时，圆心C
=的坐标为 _______ ?
解析 圆C的方程可化为（卄分+@+1）2=—討+1.所以，当Q0时圆C的面积最大. 答案（0, -1）
8. 已知点.1/（1, 0）是圆C： x -\\~y—\\x—^y= 0内的一点，那么过点?〃的最短弦所在直线的方
程是 ________ .
1 —A 解析 过点朋的最短弦与垂直，圆C： x+/~4x~2y=0的圆心为C'（2, 1）, ?:畑=石= =1, .??最短弦所在直线的方程为y—0=— （%—1）,即x+y—l=0.
答案 x+y-l=0
三、解答题
9. 己知三条直线7i： x—2y=0, 72： y+l=O, hz 2%+y—1=0两两相交，先画出图形， 再求过这
三个交点的圆的方程.
解,2平行于x轴，厶与&互相垂直.三交点、A, B, C连线构成直角三角形，经过〃，B,
y+l=0
C三点的圆就是以月〃为直径的圆.
解方程组
%-2y=0,
x=—2,
得 —
所以点力的坐标是（一2, -1）.
解方程组
[y+l=0
Lr=_l?
2x+y-l=0, x=\\,
、尸_L
所以点〃的坐标是（1, —1）.
线段初的中点坐标是（一*, —1） 乂 | AB\\ =yj —2— 1 —1 + 1 —3. 故所求圆的标准方程是（卄甘+ 3+1）2=#.
10-在中，已知 |〃C|=2, 且刃，求点川的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
如图，以直线化为;V轴.线段〃。的小点为原点，建立直角坐标系. 则有2/(-1, 0), C(l,0),设点/的坐标为匕，y). 由得p~卄 1 ~2+/=咎/~x—1 — .整理得(zw —1)/+ (//72—l)y2—2 (//+
1)卄(/? — 1) =0.①
当駢=1时，刃=1,方程是x=0f轨迹是y轴.
所以，点力的轨迹是以(岩，0)为圆心，穆纟订为半径的圆(除去圆与比、的交点).
1
9
11. 若直线站+2方y—2 = 0(白〉0,方>0)始终平分圆# + j>—4x—2y—8 = 0的周长，贝Ijy+y的
ci U
最小值为
()
A. 1 B. 5 C. 4^2 D. 3 + 2边
解析 由题意知圆心C(2, 1)在直线站+2方丫一2 = 0上，
???2卄2方一2 = 0,整理得a+b=l,
2臼
（臼+方）=3+7
~b
23+2寸彳X晋=3 + 2迈，
当且仅当￡=普，即b=2—迈,$=辺一 1时，等号成立.
o
???；+/的最小值为3 + 2^2. 答案D
12. 已知圆心(曰，b) (a<0, b<0)在直线y=2x+l上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于 圆的半径，
在y轴上截得的弦长为2&,则圆的方程为
()
A. (x+2)'+(y+3)‘ = 9 B. (^+3)-+(y+5)2=25 C?(卄6)2+(『+甘=譽 (,2\\, _ ( , 7\\ 49 D.「+寸+卜+寸=百
解析 由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与”轴相切，由题意得圆的半 径为
I引，则圆的方程为
(%—
得 b=2a+\\ ①，
由此圆在F轴上截得的眩长为2书， 得方'一/ = 5②，
p=—2,
由①②得［〃 =一3
(舍去)?所以所求圆的方程为(卄2)G(y+3)2
=9.故选A.
答案A
13. 已知圆G (^-3)+(y-4)=l,设点戶是圆C上的动点.记d=\\PB\\+\\PA\\\\其中 \〃(0, —1),则〃的最大值为 ____________ .
解析 设戶(及,必)，d= \\PB\\2+ \\PA\\1=^-\\-(7O+1)2+^+(7O—1)2=2(^+J^) +2. Ab+ 说为圆上任一点到原点距离的平方，二(￡+诊)吋=(5 + 1尸=36, .?.6LX = 74? 答案74
22
214. (2016 -江苏卷)如图，在平面直角坐标系朮少屮，已知以财为圆心的圆财：x+y — \\2x -14y+60 = 0及其上一点水2, 4).
(1)设圆艸与JV轴相切，与圆册外切，且圆心艸在直线/=6上，求圆艸的标准方程；
⑵设平行于创的直线/与圆弭相交于〃，C两点，且|阳=丨创，求直线/的方程; ⑶设点T( tf 0)满足：存在圆财上的两点P和◎使得~TA+7p=n 求实数r的取值范 围. 解(1)圆财的方程化为标准形式为匕一6)2+3—7)2=25,圆心曲6, 7),半径2=5, 由题意,设圆河的方程为匕一6)2+@—方尸=方\方＞o), 且 p 6 — 6 ?+ 方一7 2=力+5.
解得方=1 ,???圆用的标准方程为(L 6)?+ @—1)2=1.
⑵、：也=2,：?可设直线1的方程为y=2x+m,即2x—y+刃=0.
5L\\BC\\ = \\OA\\ =冷2‘+42=2伍
由题意，圆〃的圆心#(6, 7)到直线/的距离为d=
=寸25 — 5 = 2&,
即
,J 二加2
=2&，解得刃=5或刃= — 15.
???直线1的方程为2x—y+5 = 0或2X—L15 = 0.
⑶由TA+TP=W,则四边形力GT为平行四边形, 又???\0为圆〃上的两点，???|%|W2厂=10.
相关推荐：
loading