第八章 一元二次方程复习
知识梳理
1．只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元二次方程．
解：A项原方程不是整式方程；B项当a = 0时，原方程就不是一元二次方程；D项原方程中含有两个未知数．故选C．
二、一元二次方程的根
例2 关于x的方程x2?mx?2m2?0的一个根为1，则m的值为（ ） A．1 B．
2．一元二次方程的一般形式是__________________，其中_________是二次项，_________是一次项，_________是常数项，_________是二次项系数，_________是一次项系数．
3．一元二次方程的解法有：_____________、__________、___________和___________． 4．一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）的求根公式是___________．
温馨提示： 用公式法解方程时，先必须满足b2?4ac≥0．否则，此时方程无解． 5．一元二次方程ax2?bx?c?0（a?0）的根的情况与b2?4ac的关系：
①b?4ac_____0?一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）有两个不相等的实数根； ②b?4ac____ 0?一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）有两个相等的实数根； ③b?4ac_____0?一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）没有实数根．
6．一般的，对于关于x的一元二次方程x2?px?q?0（p、q为已知常数，p2?4q≥0），那么x1 + x2 =_______, x1·x2 =_______．
7．利用方程解决实际问题的关键是找__________，一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．
2222222111 C．1或 D．1或? 222分析：根据方程根的定义，可以把x = 1代入方程x2?mx?2m2?0中，得到关于m的方程，解方程求出m值即可．
解：把x = 1代入方程，得1?m?2m2?0，即2m2?m?1?0，解得m=1或?．故选D． 三、一元二次方程的解法
例3 解方程：x(x?2)?x?2?0．
分析：本题可以把x?2看做一个整体用因式分解法，也可以化为一元二次方程的一般形式后，再运用公式法求解．
解法一：分解因式，得 (x?2)(x?1)?0. 即x?2?0或x?1?0， ∴x1?2，x2??1．
解法二：原方程可化为x2?x?2?0． ∴x =1?(?1)2?4?1?(?2)2?112=1?3.
2∴x1?2，x2??1．
考点呈现
一、一元二次方程的定义
例1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A．x2?四、一元二次方程根与系数的关系
2例4 已知x1、x2是方程x?6x?3?0的两个实数根，则
x2x1?的值等于（ ） x1x21?0 2x
B．ax2?bx?c?0 D．3x2?2xy?5y2?0
A．6 B．－6 C．10 D．－10 分析：将
C．(x?1)(x?2)?1
x2x1?进行变形，使之出现x1?x2与x1x2，利用根与系数的关系代入求值． x1x2分析：一元二次方程必须满足四个条件：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程；④二次项系数不为0．根据这四个条件即可判断．
解：由根与系数的关系，得x1?x2??6，x1x2?3，
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22∴x2?x1=x2?x1 =(x1?x2)2?2x1x2=(?6)2x1x2x1x2x1x2?2?3?103．故选C．
2
误区点拨
一、忽视二次项系数a?0
例1 已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根，则m的取值范围是
2
例5 已知关于x的方程x+ (2k + 1)x + k??2 = 0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ____ ．
分析：由根与系数的关系，可得x1+x2 = ?(2k + 1)，x1x2 = k??2，再根据x12?x22?11可得关于k的方程，从而解出k值．
解：根据根与系数的关系，得x1+x2 = ?(2k + 1)，x1x2 = k??2． ∵x12?x22?11， ∴(x1?x2)?2x1x2?11.
∴[?(2k + 1)]2 –2(k??2) =11，即k2 + 2k ? 3 = 0，解得k = 1或k =?3． 当k = 1时，原方程为x2?3x?1?0，此方程有实数根；
当k =?3时，原方程为x2?5x?7?0，该方程没有实数根，k =?3舍去．故k的值为1．
五、一元二次方程的应用
例6 随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2009年底报名人数为3 200人，截止到2011年底报名人数已达到5 000人． （1）若该驾校2009年底到2011年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．
（2）若该驾校共有10名教练，预计在2012年底每个教练平均需要教授多少人？ 分析：（1）2009年底报名人数×（1＋增长率）2＝2011年底报名人数，把相关数据代入求解即可；
（2）先求出2012年底的报名人数，除以10即可求出每个教练平均需要教授的人数．
解：（1）设该驾校的年平均增长率是x．由题意，得3 200（1+x）2=5 000． 解得x1=
2
22
_____________．
错解：由b2?4ac≥0，得1?4(m?1)≥0，解之得m≤
2
5． 4剖析：因为方程为一元二次方程，所以二次项系数m?1≠0，即m≠1．错解忽视了二次项系数不为0的条件．
正解：m≤
5且m≠1． 4二、错用等式的性质导致丢根 例2 方程x(x?6)= x的解是（ ） A．x = 0 C．x = 7
B．x = 0或x = 6 D．x = 0或x = 7
错解：方程两边除以x，得x?6?1，所以x=7，故选C．
剖析：上面解法中，方程两边同除以x，而当x = 0时，方程两边都除以0是没有意义的．易知x = 0也是原方程的一个根，所以错解中丢了一个根．
正解：移项，得x(x?6)?x?0，提公因式，得x(x?6?1)?0，即x(x?7)?0，所以x = 0或x = 7，故选D．
三、忽视平方根的性质
例3 一元二次方程x2－16= 0的解是（ ）
A．x1 = 4，x2= ?4 B．x= ?4 C．x = 4 D． x1 = 4，x2 = 0 错解：由x2－16 = 0，得x2 =16. 直接开平方，得x = 4，应选C．
剖析：用直接开平方法解方程，要注意平方根的性质，本题中16的平方根有两个，它们是±4，上述解法漏掉了一解．
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19=25%，x2=?（舍去）． 44∴该驾校的年平均增长率是25%． （2）5 000×（1+25%）÷10=625（个）．
∴预计2012年每个教练平均需要教授625个学员．
正解：由x2－16= 0，得x2 = 16，直接开平方，得x =±4. 故应选A．
四、配方前二次项系数未化1
例4 用配方法解方程：2x2－7x＋6 = 0． 错解：移项，得2x?7x??6． 两边都加上一次项系数一半的平方，得2x即?2x?7?2?25.
???2?42A．?1 B．5 C．?1或5 D．1或?5
错解：由根与系数关系，可知x1 + x2 = m，x1·x2 = 2m?1.
2又x12?x22?7，所以（x1 + x2）－2x1x2 = 7，所以m2－2（2m ?1）= 7，解得m = 5或m =?1．故
选C．
222?7??7??7x?????6????2??2?.
剖析：利用根与系数的关系解题的前提条件是判别式△≥0. 上述错解忽视了“方程有实根”这一条件，事实上，m = 5时原方程无实根．
正解：由根与系数关系，可知x1 + x2 = m，x1·x2 = 2m?1.
直接开平方，得2x?即2x?7?5?7?5．
222所以x1?3，x2?75??. 22又x12?x22?7，所以（x1 + x2）2－2x1x2 = 7，所以m2－2（2m ?1）= 7，解得m = 5或m =?1. 当m = 5时，方程为x2?5x?9?0，此方程没有实数根，m = 5舍去； 当m =?1时，方程x2?x?3?0，此方程有实数根，所以m =?1．故选A．
1． 2跟踪训练
1．方程(x?1)(x?2)?x?1的解是（ ）
A．2 B．3 C．?1，2 D．?1，3
2剖析：用配方法解方程首先要将一元二次方程的系数化为1，然后再配方，上述解法错误在于忽视了二次项系数．
正解：二次项系数化为1，得x2?7x?3?0．
2．方程2x2?5x?3?0的解是 ．
3．已知a，b是一元二次方程x2?2x?1?0的两个实数根，则代数式(a ? b) (a + b ? 2) + ab的值等
7移项，得x?x??3．
22方程左边配方，得x2?7x??7?2?7?????3????4??4?22于________.
，
4．关于x的一元二次方程x2 + 2x + k + 1= 0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；
（2）如果x1+ x2 ? x1x2＜?1且k为整数，求k的值．
5. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200
千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．
（1）设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，请用代数式表示每天的销售量；
（2）若该经营户每天的房租等固定成本共24元，该经营户想要每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
即(x71． ?)2?416开方，得x?7??1．
44所以x1?2，x2?3．
2五、忽视检验根的合理性
x2，例5 关于x的一元二次方程x2?mx?2m?1?0的两个实数根分别是x1、且x12?x22?7，
则m的值是（ ）
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