信息论第二章答案

2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？

解：

四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}

八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：

四进制脉冲的平均信息量H(X1)?logn?log4?2 bit/symbol 八进制脉冲的平均信息量H(X2)?logn?log8?3 bit/symbol 二进制脉冲的平均信息量H(X0)?logn?log2?1 bit/symbol 所以：

四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。

2.2 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？

(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？

解：

(1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：

p(xi)?1 52!I(xi)??logp(xi)?log52!?225.581 bit

(2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：

(a)p(xi)=52/52 * 48/51 * 44/50 * 40/49 * 36/48 * 32/47 * 28/46 * 24/45 * 20/44 * 16/43 * 12/42 * 8/41 * 4/40=1.0568E-4

(b)总样本：C1352, 其中13点数不同的数量为4*4*4*…*4=413。所以，抽取13张点数不同的牌的概率：

413p(xi)?13C52I(xi)??logp(xi)??log4?13.208 bit13C5213

2.3 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：

设随机变量X代表女孩子学历

X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75

设随机变量Y代表女孩子身高

Y y1（身高>160cm） y2（身高<160cm） P(Y) 0.5 0.5

已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的

· 1 ·

即：p(y1/x1)?0.75

求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：I(x1/y1)??logp(x1/y1)??log

p(x1)p(y1/x1)0.25?0.75??log?1.415 bit

p(y1)0.5?X??x1?0x2?1x3?2x4?3?2.4 设离散无记忆信源????，其发出的信息为?1/41/41/8??P(X)??3/8(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？

(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？

解：

(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：

?3??1??1?p?????????

?8??4??8?此消息的信息量是：I??logp?87.811 bit

(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：I/n?87.811/45?1.951 bit

142562.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？

解： 男士：

p(xY)?7%I(xY)??logp(xY)??log0.07?3.837 bitp(xN)?93%I(xN)??logp(xN)??log0.93?0.105 bitH(X)???p(xi)logp(xi)??(0.07log0.07?0.93log0.93)?0.366 bit/symboli2

女士：

H(X)???p(xi)logp(xi)??(0.005log0.005?0.995log0.995)?0.045 bit/symbol

i2x2x3x4x5x6??X??x12.6 设信源????，求这个信源的熵，并解释为什么??P(X)??0.20.190.180.170.160.17?H(X) > log6不满足信源熵的极值性。

解：

· 2 ·

H(X)???p(xi)logp(xi)i6 ??(0.2log0.2?0.19log0.19?0.18log0.18?0.17log0.17?0.16log0.16?0.17log0.17) ?2.657 bit/symbolH(X)?log26?2.5856不满足极值性的原因是

?p(xi)?1.07?1。

i2.7 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；

(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

解： (1)

p(x)?11111i6?6?6?6?18

I(x?logp(xlog1i)?i)??18?4.170 bit(2)

p(x?111i)6?6?36

I(x)??log1i)??logp(xi36?5.170 bit(3)

两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

共有21种组合：

其中11，22，33，44，55，66的概率是1116?6?36 其他15个组合的概率是2?1116?6?18 H(X)???p(xlogp(x?1111?i)i)???6?log?15?log??i?36361818?4.337 bit/symbol

(4)

参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

3 ·

·23456789101112??X???1?1111151511????P(X)?????3618129366369121836??H(X)???p(xi)logp(xi)i

111111115511?? ???2?log?2?log?2?log?2?log?2?log?log?361818121299363666??36 ?3.274 bit/symbol(5)

1111p(xi)???11?663611I(xi)??logp(xi)??log?1.710 bit36

2.8证明：H(X1X2 。。。 Xn) ≤ H(X1) + H(X2) + … + H(Xn)。

证明：

H(X1X2...Xn)?H(X1)?H(X2/X1)?H(X3/X1X2)?...?H(Xn/X1X2...Xn?1)I(X2;X1)?0 ?H(X2)?H(X2/X1)I(X3;X1X2)?0 ?H(X3)?H(X3/X1X2)...I(XN;X1X2...Xn?1)?0 ?H(XN)?H(XN/X1X2...Xn?1)

?H(X1X2...Xn)?H(X1)?H(X2)?H(X3)?...?H(Xn)

2.9 证明：H(X3/X1X2) ≤ H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。

证明：

H(X3/X1X2)?H(X3/X1)?????p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1xi2)???p(xi1xi3)logp(xi3/xi1)i1i2i3i1i3?????p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1xi2)????p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1)i1i2i3i1i2i3????p(xi1xi2xi3)logi1i2i3p(xi3/xi1)p(xi3/xi1xi2)

?p(xi3/xi1)?????p(xi1xi2xi3)??1?p(x/xx)??log2ei1i2i3i3i1i2?????????p(xi1xi2)p(xi3/xi1)????p(xi1xi2xi3)?log2ei1i2i3?i1i2i3????????p(xx)p(x/x)i1i2??i3i1??1?log2e????i3???i1i2?0· 4 ·