2019专题11几何体面积、体积的计算-2018年高考数学（理）母题题源系列（天津专版）

谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。心不在此，则眼不看仔细，心眼既不专一，却只漫浪诵读，决不能记，记亦不能久也。三到之中，心到最急。心既到矣，眼口岂不到乎？

2019专题11几何体面积、体积的计算-2018年高考数学（理）母题题源系

列（天津专版）

【母题原题1】【2018天津，理11】

已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，（如图），则四棱锥的体积为 ．ABCD?A1B1C1D1ABCDE,F,G,H,MM?EFGH

1【答案】

12【名师点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 【母题原题2】【2017天津，理10】

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】

9? 2【解析】设正方体边长为，则，a6a2?18?a2?3 外接球直径为．2R?3a?3,V?434279πR?π??π 3382【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。

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谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。心不在此，则眼不看仔细，心眼既不专一，却只漫浪诵读，决不能记，记亦不能久也。三到之中，心到最急。心既到矣，眼口岂不到乎？

题就是第三种方法．

【母题原题3】【2016天津，理11】

已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______．m3 【答案】2

【名师点睛】1．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．

2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 【命题意图】 高考对本部分内容重点考查球的体积与表面积的计算．

【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一是计算球的体积与表面积；二是已知球的体积与表面积求解相关问题．

【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：

第一步：求正方体的边长 根据正方体的表面积为18，求正方体的边长； 第二步：求外接球的半径 正方体的体对角线的一半； 第三步：下结论． 根据球的体积公式计算． 【方法总结】

（1）若球的半径为，则其表面积为，体积为．R（2）正方体的棱长为a，球的半径为R， ①正方体的外接球，则2R＝a； ②正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a．

（3）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。4S?4?R2V??R3

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谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。心不在此，则眼不看仔细，心眼既不专一，却只漫浪诵读，决不能记，记亦不能久也。三到之中，心到最急。心既到矣，眼口岂不到乎？

（4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．

（5）解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

1．【2018天津河北区二模】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A． B． C． D． 【答案】A

【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．

2．【2018天津上学期期末考试】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）

A． 12 B． 24 C． 36 D． 48 【答案】C

3．【2018天津静海期中考试】已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是

A． B． C． D． 【答案】D

【解析】分析：该几何体的表面积由两个直角三角形的底面与三个矩形的侧面组成，

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。

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谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。心不在此，则眼不看仔细，心眼既不专一，却只漫浪诵读，决不能记，记亦不能久也。三到之中，心到最急。心既到矣，眼口岂不到乎？

求出直角三角形的面积与矩形的面积即可得结果． 详解：

如图，三棱柱中，底面，，该几何体的表面积为：，故选D．

【名师点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有： ①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）③可以转化为长方体的外接球；

④特殊几何体可以直接找出球心和半径．

4．【2018天津实验中学期中考试】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D． 【答案】C

5．【2018天津耀华中学期中考试】一个球受热膨胀，表面积增加，那么球的半径增加了（ ）

A． B． C． D． 【答案】D

【解析】设因膨胀半径由变为，则，∴，∴半径增加．故选．

8．【2018天津七校联考期中考试】在梯形中， ， ， ．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。

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