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2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( ) A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( ) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( ) A．–8 B．–6 C．6 D．8 4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( ) 43
A．–3 B．–4 C．3 D．2
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A．20π B．24π C．28π D．32π
π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) kππkππkππkππ
A．x=2–6(k∈Z) B．x=2+6(k∈Z) C．x=2–12(k∈Z) D．x=2+12(k∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )
A．7 B．12 C．17 D．34 π3
9、若cos(4–α)=5，则sin2α= ( )
7117A．25 B．5 C．–5 D．–25
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其
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中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) 4n2n4m2mA．m B．m C．n D．n x2y21
11、已知F1、F2是双曲线E：a2–b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=3,则E的离心率为( )
3
A．2 B．2 C．3 D．2
x+1
12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，...(xm,ym)，则
?(x?y)?( )
iii?1mA．0 B．m C．2m D．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
45
13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=5，cosC=13，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。 (3)如果α∥β，m?α，那么m∥β。
(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。 其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． (1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年
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度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[] 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0. 05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD5
上，AE=CF=4，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10． (1)证明：D'H⊥平面ABCD； (2)求二面角B–D'A–C的正弦值．
x2y2
20、(本小题满分12分)已知椭圆E：t+3=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
x–2
21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x+2ex的单调性，并证明当x>0时，(x–2)ex+x+2>0；
ex–ax–a
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=x2(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
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22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F． (1) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25． (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
?x=tcosα
(2)直线l的参数方程是?y=tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．
?
11
24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–2|+|x+2|，M为不等式f(x)<2的解集． (1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|． 参考答案
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1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3 2、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–1 3、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b)⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D． |a+4–1|44、解析：圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)2+(y–4)2=4，故圆心为(1,4)，d==1，解得a=–3，a2+1故选A． 5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B． 1解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C24条路，再从F处到G处最短共有C3条路，则小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为C2C14·3=18条，故选B。 6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h． 1 由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l=22+(23)2=4，S表=πr2+ch+2cl=4π+16π+8π=28π，故选C． πππ 7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位得y=2sin2(x+12)=2sin(2x+6)，则平移后函数的对πππkπ 称轴为2x+6=2+kπ，k∈Z，即x=6+2，k∈Z，故选B。 8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C． π3ππ7 9、解析：∵cos(4–α)=5，sin2α=cos(2–2α)=2cos2(4–α)–1=25，故选D． π3 解法二：对cos(4–α)=5展开后直接平方 解法三：换元法 10、解析：由题意得：(xi,yi)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中 专业技术参考资料
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