第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2000年4月23日 上午8：30—10：30
一、选择题（每小题6分，共60分）
1、函数f ( x ) = log1( 2 x 2 + 2 xx2?1+ 1 ) x是（ ）
3（A）偶函数 （B）奇函数 （C）奇且偶函数 （D）非奇非偶函数 2、△ABC中，BC = 6，BC上的高为4，则AB ? AC的最小值是（ ） （A）24 （B）25 （C）242 （D）26
3、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）
（A）– 6 （B）– 3 （C）3 （D）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆） 4、直线y = x + 3和曲线 –
x|x|4+
y29= 1的交点的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ? f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则
f(2)f(1)+
f(4)f(3)+
f(6)f(5)+ ? +
f(2000)f(1999)=（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）2002
6、定义在R上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (1) = 0，则不等式f ( log1x ) > 0的
38解是（ ） （A）(
12，1 ) （B）( 2，+ ∞ ) （C）( 0，1)∪( 2，+ ∞ ) （D）(1，1 )∪( 2，+ ∞ )
227、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断： ⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{
1f(n?1)1f(n)1f(n)2}的前n项和是
n(2n?3n?7)62；
⑶ lim(
n???–
) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
8、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）
（A）14 （B）15 （C）16 （D）17 9、已知x、y、z∈R+，且
1x+2+3= 1，则x +y+z的最小值是（ ）。
yz23（A）5 （B）6 （C）8 （D）9
10、从一个半径是1分米的圆形铁片中剪去圆心角为x弧度的一个扇形，将余下的部分卷成一个圆锥（不考虑连接处用料），当圆锥的容积达到最大时，x的值是（ ） （A）
?2 （B）
?3 （C）( 3 –2)π （D）6?263π
二、A组填空题（每题6分，共60分）
11、空间中与一个位置确定的三角形的三条边距离都相等的点的轨迹是 。 12、R is the domain of f ( x ) , and “ f ( tan x ) = sin 2 x ” is true when the real number x∈( –then the maximum of f ( sin 2 x ) is .
13、设f ( x ) = x 2 + b x + 9，g ( x ) = x 2 + d x + e，若f ( x ) = 0的根是r，s，g ( x ) = 0的根是– r，– s，则f ( x ) + g ( x ) = 0的根是 。
14、已知定点A ( 1，3 )，B ( 3，3 )，点P在x轴上运动，当∠APB最大时，点P的横坐标是 。 15、已知A ( – 1，3)，O是坐标原点，线段OA在坐标平面内绕原点顺时针旋转，扫过的面积是
14?3?2,
?2),
，这时A点到达的位置A'的坐标是 。
n + 1
ABDECGF16、数列{ a n }满足：a n + 1 = ( – 1 )n – 2 a n，n ≥ 1并且a 1 = a 2001，
则a 1 + a 2 + ? + a 2000 = 。
17、已知△ABC中，∠C = 90°，CB = a，CA = b，点P在△ABC三边上运动，则PA + PB + PC的最小值是 。
18、如图，三棱台ABC–DEF上、下底面边长的比是1∶2（上底为ABC），G是侧棱CF的中点，则棱台被截面AGE分成的上、下两部分体积的比是 。 19、圆x + y = r （r > 0）经过椭圆
2
2
2
xa22+
yb22= 1（a > b > 0）的两个焦点F1，F2，且与该椭圆有
四个不同的交点，设P是其中的一个交点，若△PF1F2的面积为26，椭圆的长轴为15，则a + b + c = 。
20、当α是锐角时，( sin α + tan α ) ( cos α + cot α ) 的值域是 。 答案：一、A、A、C、D、B、C、A、B、D、D；
二、11、过三角形的内心且垂直于三角形所在平面的一条直线；12、1；13、± 3 i；14、6；15、( 1，3)；16、–简解：4、（
22100031513；17、a + b；18、2∶5；19、13 +245262；20、( 2，
2632+2]。
262413，
2），（0，3），（
4281，
395）；10、V =
63132π r 21?r=2π r ? r ?2?2r≤π
(
r?r?2?2r3) 3 =
2π，有r =2?2r，r =，r = 1 –
x2?；
三、解答题
21、当– 1 ≤ x ≤ 1时，记函数f ( x ) = log1( x 2 –
223a x + a 2 + 2 )的极大值为g ( a )，试求g ( a )的
最大值。 解：由x 2 –当
1323a x + a 2 + 2 = ( x –a ) 2 +a 2 + 2可知：
39 2
18a ≤ – 1，即a ≤ – 3时，g ( a ) = f ( – 1 ) = log1( a +
223a + 3 ) ≤ g ( – 3 ) = log110；
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