8、不等式x – 2 – | x 2 – 4 x + 3 | ≥ 0的解集是（ ） （A）[
3?25，3?5?255] （B）[5?253?25?255，，5?23?255] ] （C）( – ∞，2]∪[，+ ∞ ) （D）[9、将3个半径为1的球和一个半径为2– 1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ） （A）
32?36 （B）
3?263 （C）2?263 （D）22?36
10、Given two sequences { a n }、{ b n } with positive terms , let { a n } be arithmetic with the common difference d , let b n be the length of the line segment cut by the parabola y = a n x + 2 a n + 1 x + a n + 2 ( n∈N* ) from the x – axis . Then lim( b 1 b 2 + b 2 b 3 + ? + b n – 1 b n ) =（ ）
n??2
（A）
da1 （B）
2da1 （C）
3da1 （D）
4da1
（英汉小字典：sequence数列；common difference 公差；parabola 抛物线；x – axis x轴） 二、填空题：（每小题6分，共60分）
11、已知f ( x )是区间[ – 2，2 ]上的增函数，且f ( 2 ) = 4，若f ( x ) ≤ m 2 – 2 a m + 3对所有的x∈[ – 2，2 ]和a∈[ – 1，1 ]恒成立，则实数m的取值范围是 。
12、已知方程a cos x + b sin x = c在0 < x < π上有两个根α和β，则sin ( α + β ) =________。 13、设α和β分别是方程cos ( sin x ) = x和sin ( cos x ) = x在区间( 0，)上的解，则它们的大小
2?关系是________。
14、已知α，β，γ均为锐角，且cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ，则cot α ? cot β ? cot γ的最大值等于_____。 15、已知定直线l上有三点A，B，C，AB = 2，BC = 5，AC = 7，动圆O恒与l相切于点B，则过A、C且都与⊙O相切的直线l1、l2的交点P的轨迹是____ 。 16、复数z满足条件arg
2z?1z?1=
?4，则| z |的取值范围是________。
17、抛物线系y 2 = m x + 2 m 2 + 1（m∈R）在x y平面上不经过的区域是____________，其面积等于____________。
18、Given the function f ( x ) = 4 x – 2 ( p – 2 ) x – 2 p – p + 1 and – 1 ≤ x ≤ 1 . If there must exist at least one real number c such that f ( c ) > 0 . Then the range of p is ___________.
19、在四面体ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A为顶点的等腰直角三角形，且腰长为a。过D作截面DEF交面ABC于EF，若EF∥BC，且将四面体的体积二等分，则面DEF与面BCD
2
2
的夹角等于___________。
20、长为l（l < 1）的线段AB的两端在抛物线y = x 2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于____________。
答案：一、D、A、D、B、C、B、C、A、D、A； 二、11、( – ∞，– 1 –2]∪[ 1 +2，+ ∞ )；12、15、去掉两个顶点的双曲线；16、[19、arctan52?672aba2?b2；13、α > β；14、
24；
3212，10?324]；17、x 2 + 8 y 2 < 8，22π；18、（– 3，）；
；20、
l2。
4d242dan简解：10、b n = | x 2 – x 1 | =三、解答题
，b n – 1 b n =
an?1an= 4 d (
1an?1–
1an)，S =lim4 d (
n??1an?1–
1an) =
4da1；
21、从半径为l的圆铁片中去掉一个半径为l、圆心角为x的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥。 （1）用x表示圆锥的体积V； （2）求V的最大值。
解：（1）设卷成的无盖圆锥体的底面半径为r，高为h，则有 2 π – x = 2 π r，V =π r h，
312
r + h = 1，其中0 < x < 2 π，0 < r < 1，0 < h < 1，∴ x = 2 π ( 1 – r )，r = 1 –
1113x2?22
x2?，h =1?r2，
∴ V =π r h =π r
3322
1?r=2π ( 1 –) ·1?(1?2
x2?)=2(2??x)24?22x(4??x)，
∴ V =
(2??x)24?22（0 < x < 2 π）。 x(4??x)，13（2）由（1）知，V =
22π r
2
1?r（0 < r < 1）
22222=
13πr?r?(2?2r)2≤2313π12?(r?r?2?2r3)=
313π12323π， ?()=2327其中：当r 2 = 2 – 2 r 2，即r 2 =∴ V的最大值为23272
时，也即 x = 2 π ( 1 –63) 时，V取得最大值，
π。
22、已知抛物线y = 4 a x ( a > 0 )的焦点为F，以点A（a + 4，0）为圆心，| AF |为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。
（1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。
（2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得| FP |是| FM |与| FN |的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。
解：（1）∵ 抛物线y = 4 a x ( a > 0 )的焦点为F（a，0），准线为l ：x = – a， 又点A的坐标为（a + 4，0），∴ | FA | = 4，
∴ 以A为圆心，| FA | 为半径的圆在x轴的上方的方程为( x – a – 4 ) + y = 16，（x > 0，y > 0）。
2??y?4ax由?，得x 2 + ( 2 a – 8 ) x + a 2 + 8 a = 0，
22??(x?a?4)?y?16,(x?0,y?0)2
22
设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）（其中：x i，y i（i = 1，2），均为正数），则有 x 1 + x 1 = 8 – 2 a，x 1 x 2 = 8a，Δx = ( 2 a – 8 ) – 4 ( a + 8 a ) = – 64 a + 64 > 0， ∴ 0 < a < 1，又 抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，
∴ | FM | + | FN | = | x 1 + a | + | x 2 + a | = ( x 1 + a ) + ( x 2 + a ) = ( x 1 + x 2 ) + 2 a ) = 8， | MN | < | FM | + | FN | = 8，∵ 点F、M、N均在⊙A上，∴ | AM | = | AN | = | AF | = 4， ∴ | AM | + | AN | = 8，∴ 点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上。 （2）假设存在满足条件的a，则有2 | FP | = | FM | + | FN | = 8，即| FP | = 4，
x1?x2?x??4?a0??2设点P的坐标为（x 0，y 0），则有??y?y1?y2?a(x?01??22
2
，由| FP | = 4，得
x2)( 4 – a – a ) 2 + a (x1+x2) 2 = 16，化简，得2 aa2?8a= 2 a ( 4 – a )，
∴ a = 0或a = 1，与0 < a < 1矛盾故不存在满足条件的a，即不存在a值，使得点P为MN的中点，且| FP |是| FM |与| FN |的等差中项。
23、用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数f ( x )。 （1）请规定f ( 0 )的值，并说明其实际意义。 （2）写出f ( x )满足的条件和具有的性质。 （3）设f ( x ) =
11?x2，现有m ( m > 0 )个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后
清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。 解：（1）设f ( 0 ) = 1，表示未清洗时水果上残留的农药量。 （2）f ( x )满足：f ( 0 ) = 1，f ( 1 ) =
12，0 < f ( x ) ≤ 1，
f ( x )具有的性质：f ( x )在[ 0，+ ∞ )上单调递减，且f ( 0 ) = 1，limf ( x ) = 0。
x??（3）方案1：用m个单位的水，仅清洗一次，∵ f ( x ) =
11?x2，∴ f ( m ) =
1211?m22，
∴ 用m个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为1 ·方案2：把m个单位的水等分成2份来清洗，∵ f ( x ) =
11?x21?m=
11?m；
，
又f ( x )表示用x个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比，所以用
m2m2个单位的水清洗以后，水果上残存的农药量为1 · f (
m2) =
11?(m2)2，
再用个单位的水清洗后，水果上残存的农药量为
11?(m2)2· f (
m2) = (
11?(m2)2) 2；
两种方案中残存的农药量之差为
11?m2– (
11?(m2)2) =
2
m(m?8)(1?m)(4?m)22222。
于是可得下面的结论：
当m > 22时，把水分成2等份清洗，水果上残存的农药量较少； 当m = 22时，两种方案的清洗效果一样；
当m < 22时，仅清洗一次，水果上残存的农药量较少。
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2003年4月13日 上午 8：30—10：30
一、选择题（每小题5分，共50分） 1、方程sin π x = 0.25 x的解的个数是（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
2、当0 < x < 1时，记 a = x x，b = ( arcsin x ) x，c = x arcsin x，下列不等式中成立的是（ ） （A）a < b < c （B）a < c < b （C）c < a < b （D）c < b < a
3、If 2 | a | < 4 + b , | b | < 4 , then the set of real roots of the equation x + a x + b = 0 is（ ） （A）( – 2，2 ) （B）( – 1，2 ) （C）( – 3，2 ) （D）( – 3，3 )
2
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