4、正实数x，y使4 x 2 + y 2 – 4 x y – 4 x + 4 y – 4 ≤ 0成立，则（ ）
（A）2 x – y的最小值为1 –5 （B）2 x – y的最大值为1 +5 （C）x – y的最小值为 – 1 （D）x – y的最大值为1
5、已知实数x，y，z满足条件：arccos x + arccos y + arccos z = π，那么一定成立的等式是（ ） （A）x + y + z – x y z = 1 （B）x + y + z + x y z = 1 （C）x 2 + y 2 + z 2 – 2 x y z = 1 （D）x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y z = 1
6、一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”。棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中，E为AB中点，F为CC1中点，过D1、E、F三点的截面图形的周长等于（ ） （A）（C）
1121122
2
2
2
2
2
( 25 + 213+ 95) （B）( 25 + 213+ 65) （D）
112112( 15 + 413+ 95) ( 15 + 413+ 65)
7、数列{ a n }定义为：a 1 = cosθ，a n + a n + 1 = n sinθ + cosθ，n ≥ 1，则S 2 n + 1等于（ ） （A）n cos θ + n ( n + 1 ) sin θ （B）( n + 1 ) cos θ + n ( n + 1 ) sin θ （C）( n + 1 ) cosθ + ( n + n – 1 ) sinθ （D）n cosθ + ( n + n – 1 ) sinθ 8、已知直线l：y = –
x2
2
2
+ m与曲线C：y = 1 +
12则m的取值范围是（ ） |4?x|仅有三个交点，2（A）(2– 1，2+ 1 ) （B）( 1，2) （C）( 1，1 +2) （D）( 2，1 +2) 9、若2 x + y ≥ 1，u = y 2 – 2 y + x 2 + 6 x，则u的最小值等于（ ） （A）–
75 （B）–
145 （C）
????????75 （D）
145
10、若A、B、C是平面内任意三点，则AB?AC=（ ） （A）
12( | AB | + | AC | – | BC | ) （B）
222
1212( | AB | + | AC | ) – | BC | ( | AB | 2 + | AC | 2 )
222
（C）| AB | 2 + | AC | 2 – | BC | 2 （D）二、填空题：（每小题5分，共50分） 11、锐角α，β，γ成等差数列，公差为γ = 。
?12，它们的正切成等比数列，则α = ，β = ，
x – x
12、不等式| e – e | 13、CaF2（萤石）是正八面体的晶体，其相邻两侧面所成的二面角的平面角等于 。 14、三个12 cm × 12 cm的正方形的纸都被连接两邻边中点的直线分成两片，把这6片粘在一个正六边形的外面，然后折成一个多面体，则这个多面体的体积等于____ cm 。 15、设有棱长等于a的正四面体A1，作它的内切球R1，再作R1的内接正 四面体A2，接着再作A2的内切球R2和R2的内接正四面体A3，如此继续下去，??，得到无限多个正四面体，它们的体积之和等于 。 16、函数y =x2?3x?2+2?3x?x2的最大值是 ，最小值是 。 17、与圆x 2 + y 2 – 4 x – 8 y + 15 = 0切于点A( 3，6 )且过点B( 5，6 )的圆的方程是 。 18、Let point M move along the ellipse x23 图19+ y28= 1 , and point F be its right focus , then for fixed point P ( 6，2 ) , then maximum of 3 | MF | – | MP | is , where the coordinate of M is ． （英汉小字典：ellipse 椭圆；focus焦点；maximum 最大值；coordinate坐标） 19、设x，y，z都是正数，且x + y + z = 1，则使x + y + z + λxyz≤ 1恒成立的实数λ的最大值是 。 20、某水池装有编号为1，2，3，?，8的8个进出口水管，有的只进水，有的只出水，已知所开的水管编号与灌满水池的时间如下表： 水管编号 时间（小时） 1，2 3 2，3 6 3，4 9 4，5 18 5，6 12 6，7 12 7，8 8 8，1 24 2 2 2 若8个水管一齐开，灌满水池需 小时。 答案：一、C、C、A、C、D、A、B、D、B、A； 二、11、15、 ?6， ?4， ?3；12、( lne?4?2e，lne?4?2e)；13、arccos ( –)；14、864； 33221162189a 3；16、22，2；17、x 2 + y 2 – 8 x – 16 y + 75 = 0；18、3，( ±，2 )；19、 ； 20、2。 2简解：5、cos ( α + β ) = cos ( π – γ )，即x y –1?x21?y= – z； AGEPBHDCFy2 x + y = 1yMA1B1第6题图D1C1 13O1x O第9题图x第8题图，D1F=52 1366、AG =7、a n =?14，BH = ，D1G = 54，FH = 56，EG =54，EH =； ?cos??ksin?n?2k?1?ksin?；9、解：( x，y ) 满足条件在直角坐标平面内对应的图形是图 n?2k中的阴影部分，又u = y 2 – 2 y + x 2 + 6 x，即( x + 3 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = u + 10此方程表示以点M( – 3，1 )为圆心，以u?10为半径的圆M，所以当u + 10最大（或最小）时，u也同时达到最大（或最小），由图可以看出，当圆M与直线2 x + y = 1相切时，u + 10最小为(145|2?(?3)?1?1?1|2?122) = 2 365， u最小为–；15、V1 =212a 3，q = 164；16、y 2 = 4 + 24?(x2?3x)2； 三、解答题（21、22题各15分，23题20分） 21、已知：x，y，z∈R，且x =解：x + y =x y – 1 = a?ba?ba?ba?b，y = c?dc?d，z = ac?bdad?bc，求证：x + y + z = x y z。 ， ， = 0， + c?dc?d= (a?b)(c?d)?(a?b)(c?d)(a?b)(c?d)(a?b)(c?d)?(a?b)(c?d)(a?b)(c?d)2(ad?bc)(a?b)(c?d)== 2(ac?bd)(a?b)(c?d)2(ad?bc)(a?b)(c?d)ac?bdad?bca?ba?b×c?dc?d– 1 = x y z – ( x + y + z ) = ( x y – 1 ) z – ( x + y ) =∴ x + y + z = x y z。 ×– 2(ac?bd)(a?b)(c?d)22、给定一个三角形纸片（如图2），你能否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形面积）？说明你的方法。这里“剪拼”的意思是：依直线裁剪，边对边拼接。 解：。 图223、设函数f ( x ) =31?x– λ x，其中λ > 0。 （1）求λ的取值范围，使函数f ( x )在区间 [ 0，+ ∞ )上是单调函数； （2）此种单调性能否扩展到整个定义域( – ∞，+ ∞ )上？ （3）求解不等式2 x –31?x< 12。 解：（1）f ' ( x ) =127?3133(1?x)2– λ，由f ' ( x ) ≤ 0，得( x + 1 ) 2 ≥ 11127?3，x ≤ – 127?3– 1或x ≥ 127?3– 1，由– 1 ≤ 0，得λ ≥，即当λ ≥时，f ( x )在区间 [ 0，+ ∞ )上是单调递减函数； 33127?3（2）因为无论λ取何值，( – ∞，–– 1 ]∪[ 127?3– 1，+ ∞ ) ? ( – ∞，+ ∞ )，所以此种单调 性不能扩展到整个定义域( – ∞，+ ∞ )上； 332 （3）令t =31?x，则x = t – 1，不等式可化为2 t – t – 14 < 0，即 ( t – 2 ) ( 2 t + 4 t + 7 ) < 0， 而2 t 2 + 4 t + 7 > 0，∴ t – 2 < 0，即t < 2，∴ 31?x< 2，x < 7。 第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试 2004年4月18日 上午 8：30—10：30 一、选择题 ????1、如果向量u= ( 3，– 6 )，v= ( 4，2 )，w= ( – 10，– 5 )，那么下列结论中错误的是（ ） ??????????（A）u⊥v （B）u∥v （C）u⊥w （D）v∥w 2、设f ( x ) = x 2 + b x + c ( b，c∈R )，A = { x | x = f ( x )，x∈R }，B = { x | x = f ( f ( x ) )，x∈R }， 如果A中只含一个元素，那么（ ） （A）A ? B （B）A ? B （C）A = B （D）A ∩ B = Φ 3、在一次知识竞赛中，甲、乙、丙三名选手一共做出了100道试题，若定义只有一人做出的题为难题，只有二人做出的题为中档题，三人都做出的题为容易题，则下列结论中错误的是（ ） （A）难题比容易题多20道 （B）难题至少有20道 （C）中档题不多于80道 （D）容易题多于40道 4、设0 < α，β < ?2，则α + β = ?2是sin 2 α + sin 2 β = sin 2 ( α + β )成立的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 5、函数y =x2?2x?2–x2?3x?3达到最大值时，x的值是（ ）
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