（A）29 （B）30 （C）31 （D）32
二、填空题（每小题4分，共40分；含两个空的小题，每空各2分） 11、函数y = log1cos ( 2 x –
2?3)的单调递减区间是 。
?ex?e?x? (x?0)– 1212、已知函数f ( x ) =?，则它的反函数f ( x ) = 。 ?(0?x?2)??x?1?2?13、Let general terms of three integer sequences { a n } , { b n } , { c n } be a n = 3 n + 2 , b n = 2 n + 1 , c
n = 5 n – 1 , n = 1 , 2 , 3 , … , respectively . Let { d n } be the sequence formed by the common terms of
{ a n } , { b n } , { c n } in their original order . Then the general term of d n is________ , the sum of itsfirst n terms is__________．
（英汉词典：general term通项；respectively分别地；common term公共项；original order原来的顺序）
14、记F ( x，y ) = ( x – y ) + (+
22
x2y) （y ≠ 0），则F ( x，y )的最小值是 。
2
15、函数y = arcsin ( 2x2?1– | x | )的定义域是 。 16、如图2，在△ABC中，已知BD= 2DC，AM= 3MD，过M作直线交AB、AC于P、Q两点，则
42APBMD图2QC??????????????????ABAP+
2ACAQ2= 。
（x ≥ 2）的最小值是0，则实
17、若函数f ( x ) =
x?(k?4k?10)x?4x?2x?442数k的值是 。
18、方程( arccos x ) 2 + ( 2 – t ) arccos x + 4 = 0有实数解，则t的取值范围是 。 19、抛物线y = x 2上的长度等于1的弦的中点的轨迹方程是 。
20、一个球与正四面体的各个棱都相切，且球的表面积为8 π，则正四面体的棱长为 。
答案：一、B、B、A、B、B、A、A、C、C、B；
2??ln(x?x?1) (x?1)二、11、[ k π –，k π +]（k∈Z）；12、f ( x ) =?；13、d n = 30 n
2126(0?x?1)??2?2x??– 1
– 1，S n = 15 n – 14 n；14、
2
165；15、[ –，– 1 ]∪[ 1，]；16、4；17、– 5或1；18、[ 6，+
3355∞ )；19、 ；20、42。 简解：18、原方程可化为t = a +
1a+ 2，0 < a ≤ π；
20、作出辅助正方体，题目中的球即为正方体的内接球； 三、解答题（第21题10分，22、23题各15分，共40分）
21、解关于x 的不等式：| log a x | + | log2x – 1 | > a（a > 0且a ≠ 1）。 a22、已知双曲线C的中心在坐标原点O，两条准线的距离为10 x – 4 y + 21 = 0的焦点重合。 （1）求双曲线C的方程；
（2）若P为C上任意一点，A为双曲线的右顶点，通过P、O的直线与从A所引平行于渐近线的直线分别交于Q、R。试证明：| OP |是| OQ |与| OR |的等比中项。
解：（1）由x 2 + 10 x – 4 y + 21 = 0，得 ( x + 5 ) 2 = 4 ( y + 1 )，焦点为 ( – 5，0 )，∴ c = 5， 又
2ac2325，其中一个焦点恰与抛物线x 2 +
=
325，∴ a = 16，a = 4，b = 3，∴ 双曲线C的方程为：
2
x216–
y29= 1；
（2）∵ A ( 4，0 )，∴ 从A所引平行于渐近线的直线分别 为y = ±( x – 4 )，设P ( x 0，y 0 )，则9 x0– 16 y0= 144，OP：y =
4322y0x0x，
得Q(
123x0?4y0x 0，
123x0?4y0y 0 )，R(
12?3x0?4y0x 0，
12?3x0?4y0y 0 )，则| OQ | ? | OR |
=144(3x0?4y0)2(x0?y0)?22144(?3x0?4y0)222(x0?y0)=1449x?16y2020( x0+ y0) = x0+ y0= | OP | 2，
2222∴ | OP |是| OQ |与| OR |的等比中项。
23、已知函数y = f ( x ) =1?1?x2–1?x。 （1）求的定义域和值域，并证明是单调递减函数； （2）解不等式1?1?x2–1?x>（3）求y的反函数f ( x )。
解：（1）由1 – x ≥ 0，得– 1 ≤ x ≤ 1，即定义域为[ – 1，1 ]，令x = cos θ（0 ≤ θ ≤ π），则y =1?sin?–1?cos?= sin
?22
– 1
12；
+ cos
?2–2cos?2= sin
?2– (2– 1 ) cos
?2=4?22sin (
?2–
?8)，
（–
?8≤
?2–
?8≤
3?8），显然y =4?22sin (?2–
?8)在[ 0，π ]上是增函数，所以当θ = 0时，y min =
1 –2，当θ = π时，y max = 1，即值域为[ 1 –2，1 ]，又x = cos θ在[ 0，π ]上是减函数，所以y = f ( x ) 在[ – 1，1 ]上也是减函数； （2）由4?22sin (
6?82?2–
?8) >
12，得sin 2 (
?4?2–
?8) >22?162，cos ( θ –
?4) <
6?82，
?4+
arccos< θ ≤ π，– 1 ≤ cos θ < cos (+ arccos
6?8) =32?1?13?62，所以不等式的
8解集为[ – 1，32?1?813?62)；
?4（3）由y =4?22sin (?2–
?8)，可得θ =+ 2 arcsiny4?22，所以x = cos θ = cos (
?4+ 2
arcsiny4?22)，所以y的反函数f – 1 ( x ) = cos (
?4+ 2 arcsinx4?22)，x∈[ – 1，
32?1?813?62)。
第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2007年4月15日 上午8：30—10：30
一、选择题（每小题4分，共40分） 1、设集合M = { x |
x?ax?1< 0 }，P = { x |
a?1(x?1)2> 0 }，若M ? P，则实数a的取值范围是（ ）
（A）( – ∞，1 ) （B）( 0，1 ) （C）( 1，+ ∞ ) （D）[ 1，+ ∞ )
102、函数f ( x ) =?|x – ( 2 n – 1 ) |的最小值是（ ）
n?1（A）40 （B）50 （C）60 （D）80 3、与函数y =
x23x?1的值域没有交集的集合是（ ）
89（A）( – 2，0 ) （B）( –，0 ) （C）( –，1 ) （D）( –
9823，
23)
4、不等式log 2 x（A）(
121?x21?x< 0的解集是（ ）
12，+ ∞ ) （B）( 1，+ ∞ ) （C）(，1 ) （D）( 0，
12)
5、Let y = f ( x ) be a function defined on R , and y = f ( x – 1 ) be an odd function and y = f ( x + 3 ) be an even function . Then f ( x ) is（ ）
（A）not a periodic function （B）a periodic function with the least period 4 （C）a periodic function with the least period 8 （D）a periodic function with the least period 16 （英汉词典：odd function奇函数；even function偶函数；periodic function周期函数） 6、当x∈R时，函数y =x2?2x?10–x2?x?10（ ）
（A）没有最大值和最小值 （B）有最大值，没有最小值 （C）没有最大值，有最小值 （D）有最大值和最小值 7、正四面体的棱长为a，则它的外接球的表面积等于（ ） （A）
23π a （B）
2
223π a （C）12n2
233π a （D）
2
32π a
2
8、数列{ a n }的通项是a n = ( – 1 ) n ( λ +（ ）
（A）[ – 3，2 ] （B）[ – 3，
52) + 3，若此数列的各项都是正数，则λ的取值范围是
) （C）[ – 4，2 ) （D）[ – 2，3 )
9、已知△ABC的三个内角A、B、C满足条件cos 3 A + cos 3 B + cos 3 C = 1，则△ABC（ ） （A）是锐角三角形 （B）是直角三角形 （C）是钝角三角形 （D）的形状不确定 10、已知抛物线y 2 = 4 x的焦点为F，直线l过点M(
52，–
32)且与抛物线交于A、B两点，向量
????????若点C位于抛物线的弧AOB（O为坐标原点）上，则△ABC的面积最大可达到（ ） AB⊥FM，
（A）5 （B）510 （C）105 （D）205 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、arcsin ( cos10) 的值是 。
???????????12、已知向量a和e满足条件：a≠e且a?e≠ 0，若对任意t∈R，恒有|a– te| ≥ |a–e|，则在a，?????e，a+e，a–e，这四个向量中，一定有垂直关系的向量是 。
13、若函数f ( x ) = log a x（a > 0且a ≠ 1）在区间[ a，3 a ]上的最大值比最小值大，则a
21= 。
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