14、关于x的函数y = sin x ( sin x + k cos x )（k∈R）的值域是____ 。 15、已知数列{
1an}是等差数列，若a n a 2 n + a 2 n a 3 n + a 3 n a n = arcsin
12，a n a 2 n a 3 n = arccos ( –
12)
（n为正整数），则a 2 n的值是 。 16、函数y =sinx?cosx3( –
?2< x <
?2)的单调递减区间是 。
17、从1到9这九个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数能被3整除的概率为 。
18、若[ x ]表示不超过x的最大整数，且x 2 – 2008 [ x ] + 2007 = 0，则[ x ]的值是 。 19、设椭圆E：
xa22+
yb22= 1（a > b），A、B是长轴的端点，C为短轴的一个端点，F1、F2是焦点，
记∠ACB = α，∠F1CF2 = β，若α = 2 β，则椭圆E的离心率e应当满足的方程是 。 20、正三棱锥的侧面所成的二面角（的平面角）α的取值范围是 。
答案：一、C、B、B、C、D、C、D、B、C、C； 二、11、2–?232π；12、 ；13、9或
3319；14、[
1?k?122，1?k?122]；15、12；
16、( –，– arcsin)；17、
514；18、1，2005，2006，2007；19、2 e 3 – 2 e 2 – 2 e + 1 = 0；
20、( 60°，180° )。
简解：20、设底面边长为a，棱长为b，侧面三角形顶角为θ，则0° < θ < 120°，0 < a <3b，可
2?a22得cos α =
4?b，– 1 < cos α <1，60° < α < 180°； 22ab2y三、解答题（第21题10分，第22、23题各15分，共40分） 21、依次回答下列问题：
（1）在( x，y )坐标平面上画出曲线C：y 2 = x 4 + 2 x 2 + 1；
（2）如果直线y = p x + q与曲线C不相交，求参数p和q的取值范围。 解：（1）由已知可得曲线C是由两条抛物线y= x + 1和y= – x – 1构成： （2）因为直线与曲线不相交，所以– 1 < q < 1，如图考虑直线与曲线相切的情况下，有p = ± 2，所以– 2 < q < 2。
2
2
O1x第21题图22、Given a circle C : ( x + 4 ) 2 + y 2 = 4 and a point P ( – 3 , 0 ) . A circle D whose center D moves along the y – axis circumscribes the circle C and intersects the y – axis at points A and B .
（1）Find the maximum of∠APB；
（2）Does a point Q exist on the x – axis such that∠AQB is always constant as the center D moves along the y – axis ? If it exists , then find the coordinates of Q ; If it does not exist , then give the reason ．
（英汉词典：to circumscribe外切、外接；intersect和?相交；constant常数、恒定的、不变的） 解：（1）如图，设A( 0，a )，B( 0，b )，则D( 0，
a?b22yBDCPAOx第22题图a?b2)，| AB | = b – a，又| CD | = 2 + | AD |，
即16?(2)= 2 +b?a2，∴ a b + 12 = 2 ( b – a )，| PA | =a2?9，| PB | =b2?9，
cos∠APB =a?9?b?9?(b?a)2(a?9)(b?9)2222=ab?9(ab?9)?9(b?a)22=ab?9(ab?9)?2，
294(ab?12)令t = a b + 9，又b – a ≥ 4，t ≥ 5，则cos∠APB =t?2t94(t?3)2=1?941(1?3t)2≥513，
∴ ∠APB max = arccos
513；
a?x2（2）设Q( x，0 )，则| QA | ==
a?x?b?x?(b?a)2(a?x)(b?x)ab?x(ab?x)?22222，| QB | =
=
b?x22，cos∠AQB
222222=
22ab?x22ab?x22=
222222ab?x(a?b)?x11?x224(ab?x)?x(b?a)=(ab?12)122（a b + x 2 > 0，x ≠ 0），只有当x 2 = 12，即x = ±
2x244(ab?12ab?x)223时，cos∠AQB =，∠AQB = 60°，∴ Q( ± 23，0 )。
23、已知a∈N*使函数y = 3 x +15?2ax的最大值M∈N*，求M的最大值及对应的a值和x值。 解：令t =15?2ax，则x =–
32a12a( 15 – t )，y =
a62
32a( 15 – t ) + t = –
2
32a( t –
2
2a3t +
a29) +
a6+
452a=
( t –
a3) 2 +
a6+
452a，∴ M =+
452a，又a∈N*，M∈N*，而M ( 3 ) = M ( 45 ) = 8，M ( 9 ) = M
( 15 ) = 4，M的最大值为8，当a = 3时，t = 1，x =
73，当a = 45时，t = 15，x = –
73。
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