一元三次方程的解法

一场别开生面的数学竞赛

—— 一元三次方程获解

公元1535年2月22日，威尼斯的一所大教堂里公开进行着一场数学竞赛，参加竞赛的一方是意大利波伦亚大学教授费罗的学生菲奥尔，另一方是N〃丰塔纳。

引起这场竞赛的原因是解一元三次方程。

竞赛的内容是双方各出30道一元三次方程给对方，同时开始解答，谁解得多、快，解得准确，谁就获胜。

在二十世纪以前，代数方程求解问题可以说一直是代数学的中心问题。所谓代数方程，指的是多项式方程，即形如

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

的方程，其中最简单的是一次方程，这类方程很容易求解。其次是一元二次方程，二次方程的求解问题有久远的历史，巴比伦泥板中就载有二次方程问题；古希腊人和中国《九章算术》都解出过某些二次方程；中国赵爽在解一个有关面积的问题时，相当于得出了二次方程-x2+kx=A的一个根x=(k-21k2?4A)；

七世纪印度人婆罗摩笈多给出求方程x2+px-q=0的一个根的公式x=(

21p2?4q-p)；一元二次方程的一般解法在九世纪时，就由阿拉伯数学家花

拉子模求出来了。

对一元三次方程的研究自古有之。在巴比伦泥板中就有相当于求解三次方程的问题；阿基米德讨论过方程x3+a=cx2的几何解法；七世纪中国王孝通在自己的著作《缉古算经》中提出了要用三次方程解的问题，列出三次方程并给出三次方程的一个正解，但没有方程的列法也没有方程的具体的解法；十三世纪，中国秦九韶进一步提出代数方程的数值解法；公元十一世纪波斯人奥马〃海亚姆创造了奇迹：用几何作图的方法，求出了三次方程x3-cx2+b2x+a=0的根。但在其后的500多年里，人们虽然作了努力，却对一般的一元三次方程一筹莫展，数学家们对此似乎已经丧失了信心。1494年，意大利帕乔利在其一部著作中甚至指出，若干三次和四次方程的求解象化圆为方问题一样困难，并推测它们可能不存在一般解法。直到十六世纪，在一批意大利数学家的努力之下，才找到了一元三次方程的一般解法，其中贡献最大的就是N〃丰塔纳。

在求解一元三次方程的努力中，最先有所突破的是意大利波伦亚大学的费罗，他发现了缺二次项的三次方程x3+px=q的解法，他将解法秘传给学生菲奥尔。

N〃丰塔纳是意大利布雷西亚人，生于一个贫困的邮差家庭，早年丧父，又遭战乱之祸，头部被乱刀砍伤，幸而治愈，但留下口吃的毛病，人们因而称之为塔尔塔利亚（口吃者）。他本人也以此为姓发表著述，其本姓反而不用，人们

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对他原来的姓氏却不太清楚了。

丰塔纳最主要的数学成就，就是求出一元三次方程的一般解法，但在他的著述中却找不到这一解法，仅在别人的著作中载有这一解法的片断。不过在丰塔纳的著作《各种问题和发明》中，却对发现这一解法的过程及围绕它产生的争论都作了详细的描述。

十六世纪的欧洲盛行这样一种数学竞赛：某甲因为认为某乙数学水平高，向其学习，或对其不服，想压倒他等等原因，就会向某乙提出挑战，如果某乙应战，就约好日期，公开举行竞赛。丰塔纳和费罗发现了有关三次方程的解法都没有公开发表，其原因是当时的学术氛围促成对成果保密，以求在公开的数学竞赛中击败对手。1530年前后，丰塔纳求出了缺一次项的一元三次方程x3+mx2=n的一般解法，得出正实根，也没有发表。几年后，菲奥尔听说丰塔纳也会解一元三次方程，就向他挑战，丰塔纳接受挑战，并在公开竞赛前找出缺二次项的三次方程的解法。这样，他既和菲奥尔一样会解缺二次项的三次方程，又会解缺一次项的一元三次方程。

公开的数学竞赛如期举行。丰塔纳解出了菲奥尔给出的所有30道缺二次项的三次方程，而对丰塔纳给出的30道缺一次项的方程菲奥尔却一个也没有解出来！这场竞赛丰塔纳大获全胜，从而名扬意大利。

1543年，丰塔纳求出另外几种类型三次方程的一般解法。他的若干解法在另一位意大利数学家卡尔达诺的著作《大术》中有片断的记载。

卡尔达诺于1539年在宣誓保密的情况下从丰塔纳那里学到了几种三次方程的解法，在丰塔纳方法的引导下，他求出各种类型一元三次方程的解法并予以证明，并在他1545年出版的著作《大术》中发表出来，虽然他写明了丰塔纳和费罗等人的工作，但丰塔纳仍然认为他的行为是失信。卡尔达诺的学生费拉里为老师呜不平，与丰塔纳进行了长达两年的互致公开信争辩，后来向丰塔纳提出公开辩论的挑战，1548年6月，丰塔纳决定应战，约定当年8月 10日在米兰大教堂附近举行公开辩论，请米兰执政官费兰特做评判人．辩论进行了两天，第一天争论无结果，第二天由于丰塔纳拒绝出席而使费拉里获胜。由于《大术》流传甚广，影响巨大，也由于卡尔达诺确实为一元三次方程的解法做了大量有益的工作，后世把一元三次方程求解公式称为“卡尔达诺公式”。

十六世纪，人们在找到一元三次方程一般解法的成功的激励下，乘胜求出了一元四次方程的一般解法，而对更高次方程的一般解法问题却无法解决。直到十九世纪二十年代，挪威数学家阿贝尔认识到一般的四次以上方程没有根式解，但在什么条件下可解，在什么情况下不可解，还是不得而知。大约过了十年，法国年轻的数学家伽罗华才证明了五次及更高次的一般代数方程无一般解法，这才彻底解决了高次方程一般解法的问题。

【附录】

一、【一元三次方程的解法】

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1．解方程x3=1。

∵ x3-1=(x-1)(x2+x+1)

∴ (x-1)(x2+x+1)=0，

∴ x1=1，x2=若ω表示

?1?23i?1?2?1?23i，x3=

3i?1?23i。

或

，则1、ω，ω2是x3=1的三个根。这些根叫做

三次方程的单位根。

2．解方程x3=a。

?x??方程可化为??3??a?3=1。

于是

x=3aωi（i=0，1，2）

是原方程的三个根。

3．解方程x3+ax+b=0。

将方程变形为可以求解的二次方程的形式。为此，将x分拆成两个未知数，令

x=u+v。 代入原方程得到

u3+v3+3u2v+3uv2+a(u+v)+b=0，

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?u+v+b+(3uv+a)(u+v)=0。

只要u3+v3+b=0，3uv+a=0，便保证了x=u+v是原方程的根。为此解方程组

?u3?v3??b,? ?auv??.?3?这方程组可变为

?u3?v3??33?uv????b,?a? ???.?3?3由二次方程根与系数的关系，u3、v3满足方程 y于是

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2

?a?+by????3?2=0。

u=?3b2??b??a???????2??3?23=A，

3 v=?3b2??b??a???????2??3?2=B。

u、v各有三个值，设u0，v0各是一值，则另外两个值分别为u0ω，u0ω2；

v0ω，v0ω2。

由于uv=?a，所以u、v共有三组值

3

?u0?2,?u0,?u0?,

?2 ? ?v,v?,v?.?0?0?0

所以原方程的三个根是

x1=3A+3B，x2=3Aω+3Δ=

b2Bω2，x3=3Aω2+3Bω。

4?a327叫做方程x3+ax+b=0的判别式。

A⑴当Δ>0时，u3，v3都是实数，且u3≠v3。它们的立方根表示为3原方程的根是

33A +

，3ω+3ω2，3ω2+3ω。

b2，3B。

BABAB⑵当Δ=0时，u3，v3都是实数，且u3=v3。它们的立方根为?3根为

-23b2b2b23

，方程的

，3，3。

⑶当Δ<0时，u3，v是共轭虚数，方程有三个不同的实根。 对一般的一元三次方程 y3+ay2+by+c=0，（a≠0）。 我们设法将二次项消去。令 y=x+k， 代入方程得到

x3+(3k+a)x2+(3k2+2ak+b)x+(k3+ak2+bk+c)=0。 取k=?，方程变为

3a x3+px+q=0。 其中 p=

a23a?32a3?a2+b=??ab3a23+b，

2a273 q=?

3279+c=

?ab3+c。

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二、【卡尔达诺简介】

卡尔达诺（1501年～1576年）有毁有誉的意大利数学和医学教授。 卡尔达诺天资聪明，有着丰富而有趣的经历。在一生中超过40年的时间里，他几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑去观察、去思考。最终，在1526年左右写成一本名叫《机会性游戏手册》的书，书中公布了他调查和思考的结果和关于赌博实践的体会，这本书一直到一百多年后的1663年才出版。书中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽。

卡尔达诺1545年出版的《大术》一书是一部出色的数学著作，书中有一元三次方程的求根公式，书中还有原是卡尔达诺的仆人，后来成为他学生的费拉里推得的一元四次方程求根公式。《大术》一书有两大功绩，其一是诱导人们追求五次方程求根公式的研究，导致后来近世代数学的出现；其二是该书确立了负数和虚数在数学中的地位。中国人在公元前三、四世纪就发现的负数及其运算，于十二、十三世纪经阿拉伯传入欧洲后，曾受到欧洲一些数学家顽固的非难与反对，卡尔达诺的《大术》一书出版后，负数与虚数才逐渐被欧洲数学家接受。

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