5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(
1523，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不48在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)
Y D C P B O X 1[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1. A 2将点E的坐标E(边=
1512323，)代入y=x+1中，左边=，右428811523×+1=， 248 1x+1上，即点A、C、E在一条直线上. 2∵左边=右边，∴点E在直线y=
（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线
y=ax2+bx+c
4a—b2的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴
4a4a—b2b2b21＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.
4a4a4a（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴
11GO·AO—FO·AO=3 ∵OA=1，∴22GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=
1＜0，∴x1＜0＜x2， abb ∴—=6， aaF Y D A C P E B O G X ∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， 即x2+x1=6，∵x2+x1= —
∴b= —6a,
∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜23, ∴—＜a＜0.
9
y=ax2—6ax+1
由方程组 1y=x+1 2得：ax2—（6a+
1）x=0 26a?∴x=0或x=
12=6+1. a2a当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则
- 6 -
有：0＜6+
15112≤，解得：—≤a＜— 4122a91124＜a＜— ∵b= —6a，∴＜b＜
12293综合得：—
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，
⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.
（1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式. y [解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o
再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2 (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx
任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分
(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2， 又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)
(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝
0 x 2(2?m)(?m)?m2?2m
2
同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；
?m2?2m(m?0或m?2)∴S＝? 又若C(－2，0)， 2??m?2m(0?m?2)?m2?2m(m??2或m?0)此时l为y＝x，同理可得；S＝? 2??m?2m(?2?m?0)
- 7 -
y l
B E l y A A P′ P F x
F C O P （2,0） C F P x (－2,0)C O C(2,0) P 7.如图，直线y?kx?4与函数y?别交于C、D两点．
m(x?0,m?0)的图像交于A、B两点，且与x、y轴分 x（1）若?COD的面积是?AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由． y [解]（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)，
由S?COD?2S?AOB，得S?COD?2(S?AOD?S?BOD) ∴
CA111OD·y1?··OD?2(·OC·OD·y2)，OC?2(y1?y2)， 222Py BDx 又OC?4，∴(y1?y2)2?8，即(y1?y2)2?4y1y2?8，
Omm由y?可得x?，代入y?kx?4可得y2?4y?km?0 ① yx ∴y1?y2?4，y1?y2??km， ∴16?4km?8，即k?? CA2． m又方程①的判别式??16?4km?8?0，
2B∴所求的函数关系式为k??(m?0)． mOMNDx P（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．
则AP?BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N． ∵?MAP与?BPN都与?APM互余，∴?MAP ??BPN．
AMMP∴Rt?MAP∽Rt?NPB，∴． ?PNNBy12?x1mm∴，∴(x1?2)(x2?2)?y1y2?0， ∴(?2)(??2)?y1y2?0， x2?2y2y1y2即m2?2m(y1?y2)?4y1y2?(y1y2)2?0 ②
由（1）知y1?y2?4，y1?y2?2，代入②得m2?8m?12?0，
?m?2?2?m?61， ∴m?2或6，又k??，∴?或?
k??k??1m??3?
?m?2??m?61． ∴存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)，且?或?
k???k??1?3?
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B(x2,0)(x1?x2)，8.已知抛物线y?mx?(m?5)x?5(m?0)与x轴交于两点A(x1,0)、
与y轴交于点C，且AB=6.
（1）求抛物线和直线BC的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若eP过A、B、C三点，求eP的半径.
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN?x轴于点N，使?MBN被直线BC分成面
积比为1?3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2[解]（1）由题意得：x1?x2?m?5?5,x1?x2?,x2?x1?6. mm2y ?m?5?20(x1?x2)2?4x1x2?36,??36, ??m?m?解得m1?1,m2??.
经检验m=1，∴抛物线的解析式为：y?x?4x?5. 或：由mx?(m?5)x?5?0得，x?1或x?2257O x ?5 mQm>0,
?1??5?6,?m?1. m?抛物线的解析式为y?x2?4x?5.
2由x?4x?5?0得x1??5,x2?1.
∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）. 设直线BC的解析式为y?kx?b,
则??b??5,?b??5, ??k?b?0.k?5.??∴直线BC的解析式为y?5x?5. (2)图象自画.
（3）法一：在RtDAOC中，QOA?OC?5,??OAC?45?.
??BPC?90?.
又BC?OB2?OC2?26, ∴eP的半径PB?26?2?13. 2 - 9 -
法二：
由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y?x?4x?5的对称轴直线x??2上，设
P（－2，－h）（h＞0），
连结PB、PC，则PB?(1?2)?h,PC?(5?h)?2，
22由PB?PC，即(1?2)?h?(5?h)?2，解得h=2.
22222222222?P(?2,?2),?eP的半径PB?(1?2)2?22?13.
法三：
延长CP交eP于点F.
QCF为eP的直径，??CAF??COB?90?. 又?ABC??AFC,?DACF~DOCB.
?CFACAC?BC?,?CF?. BCOCOC又AC?52?52?52,CO?5,BC?52?12?26,?
?CF?52?26?213.
5?eP的半径为13.
（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为(t,t?4t?5),则点E的坐标为(t,5t?5).
若SDMEB:SDENB?1:3,则ME:EN?1:3.
24?EN:MN?3:4,?t2?4t?5?(5t?5).
3解得t1?1（不合题意舍去），t2?5?540?,?M?,?. 3?39?若SDMEB:SDENB?3:1,则ME:EN?3:1.
?EN:MN?1:4,?t2?4t?5?4(5t?5).
解得t3?1（不合题意舍去），t4?15,?M?15,280?.
?540??存在点M，点M的坐标为?,?或（15，280）.
?39?
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