3)利用最小特征值?min的重数K估计信号数D
D=M-K (3-29) 4)计算MUSIC谱
aH(?)a(?) (3-30)
PMUSIC(?)?Ha(?)VnVnHa(?) 式中，V??q0q1...qM?1?。
5)找出P的D个最大峰值，得到波达方向的估计。 MUSIC(?)应该指出，和传统方法不同的是，MUSIC空间谱在估计信号功率时并未考虑波达角。当精确知道阵列输入协方差矩阵的集平均时，在非相关的相同噪声环境下，可以确保PMUSIC(?)的峰值对应真实的波达方向。由于这些峰值是可分的，与波达角的真实间隔无关，所以从理论上讲，只要阵列校准足够精确，这些估计器可以分辨任意靠近的信号。当式(3-8)中的入射信号si(t)高度相关时，由于Rss变成奇异，MUSIC将失效。
4 相干信号的DOA估计
4.1
基于解相干的MUSIC算法
MUSIC算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相干时算法的性能变的很坏。为什么信号源相干对算法的性能有这么大的影响呢？由相干信号源的数学模型可以知道，当信号源完全相干时，阵列接收的数据协方差矩阵的秩降为1，显然这就会导致信号子空间的维数小于信号源数。也就是说信号子空间“扩散”到了噪声子空间，这导致某些相干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计信号源方向。
由上面的分析可知：在相干信号源情况下正确估计信号方向（即解相干或称为去相关）的核心问题是如何通过一系列处理或变换使得信号协方差矩阵的秩得到有效恢复，从而正确估计信号源的方向。目前关于解相干的处理基本有两大类：一类是降维处理；另一类是非降维处理。
降维处理算法是一类常用的解相干处理方法，可以分为基于空间平滑，基于矩阵重构两类算法。其中，基于空间平滑的算法主要有前向空间平滑算法，双向空间平滑算法，修正的空间平滑算法及空域滤波法等；基于矩阵重构的算法主要是指矩阵分解算法及矢量奇异值法等。这两类算法区别在于矩阵重构类算法修正后的协方差矩阵是长方阵（估计信号子空间与噪声子空间需用奇异值分解），而空间平滑算法修正后的矩阵是方阵（估计信号子空间与噪声子空间可以用特征值分解）。
非降维处理算法也是一类重要的解相干处理方法，如频域平滑算法，虚拟阵列变换法等。这类算法与降维算法相比最大的优点在于阵列孔径没有损失，但这类算法往往针对的是特定环境，如宽带信号，非等距阵列，移动阵列等。
4.2 空间平滑算法
4.2.1 前向空间平滑算法
12
将M个阵元的均匀线阵，分成相互交错的P个子阵，每个子阵包含的阵元数为m个，即满足M＝p+m-1。信号源数为N。
图4-1 前向空间算法原理图
如图4-1所示，取第一个子阵(最左边的子阵)为参考子阵，那么各个子阵的输出矢量分别为:
?X1f??x1,x2,...,xm??f?X2??x2,x3,...,xm?1? (4-1) ?...??Xpf??xp,xp?1,...,xM????对于第k个子阵有：
Xkf?t???xk,xk?1,...,xk?m?1??Am???D?k?1?s?t??nk?t? (4-2)
其中：
dsi?n?1??j2??e0?2?d?jsi?n?2? D??0e??......???00?那么该子阵的数据协方差矩阵为：
?0??...0? (4-3)
?......?2?djsi?n?N????...e?...?k?1?Rk?Am???D?k?1?RsAm???D??H??2I (4-4)
其中，Am是一个m×p的参考子阵(通常取第一个子阵)的导向矢量矩阵，
Am??????am??1?,am??2?,...,am??N???，
d2?dsin??k??jsin??k????j2??am??k???1,e,...,e????T ，
Rs为信号的协方差矩阵，Rs?E?ssH? 。
前向空间平滑技术是通过求各个子阵协方差矩阵的均值来实现的，即取前向平滑修正的协
方差矩阵为:
1pR??Rk (4-5)
Pk?1f可以证明，当满足m>N, p>N时，前向空间平滑数据协方差矩阵Rf是满秩的。即可以通过
13
特征分解求得相应的信号子空间和噪声子空间。
4.2.2 前后向空间平滑算法
如果按照图4-2划分阵列，即称为后向平滑的方法划分子阵，那么各个子阵的输出矢量为:
图4-2 后向空间平滑算法原理图
?X1b??xM,xM?1,...,xM?m?1??b?X2??xM?1,xM?2,...,xM?m? (4-6) ?...??Xbp??xm,xm?1,...,x1??那么，第k个子阵的数据矢量为：
Xkb?t???xM?k?1,xM?k,...,xM?m?k?2? (4-7)
比较前向平滑和后向平滑的数据矢量，可以得到前向平滑中第k个子阵与后向平滑中第
p-k+1个子阵之间存在如下关系：
??k?1?*f**Xbs?t??Jnk?t? (4-8) p?k?1?t??J?Xk?t???JAmD**?0?0其中J为m的交换矩阵。J???...??1方差矩阵为:
0......0...1...01?0??，所以后向平滑第p-k+1个子阵的数据协...??0?m?nRbp?k?1?JAD*M??k?1?RD*s???k?1??HHJ???2I (4-9) ?Am*那么后向空间平滑修正的数据矩阵为:
1pbR??Rp?k?1 (4-10)
pk?1b取前向平滑和后向平滑数据协方差矩阵的平均，即前后向空间平滑的数据矩阵，即
Rb?Rf (4-11) R?2fb 14
同样可以证明，当满足m>N, p>N时，后向空间平滑数据协方差矩阵R是满秩的。
b4.3 计算机仿真实验
我们采用阵元数等于12,阵元间距为d??2的均匀线阵，四个信号的来波方向分别为 (－
40，－15，30，60) ,它们全相干，对应的衰落因子幅度为(0.3981，1，0.7079，0.1000 )，信噪比
?0.30472 - 0.2562i??0.039821 - 0.99921i??，仿真结果如下: 均为SNR＝25dB，????0.42868 + 0.5634i???0.24118 - 0.070186i?? 仿真实验1:用前向空间平滑算法进行估计，仿真结果如图4-3所示。
仿真实验2:用后向空间平滑算法进行估计，仿真结果如图4-4所示
仿真实验3:用前后向空间平滑算法进行估计，仿真结果如图4-5所示
图4-3前向空间平滑法估计相干信源
15
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