数值分析分段线性插值样条插值Runge函数Newton-Lagrange-Chebyshev插值多项式Runge现象matlab源程序代码

题目 1：对 Runge 函数 R(x ) ??

?1 1 ??25x 2

在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和

R(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。

(1)用等距节点 xi 多项式的图像。

??-1 ??ih,h ??0.1,0 ??i ??20 绘出它的 20 次 Newton 插值

分别画出在[-1，1]区间，[-0.7，0.7]区间和[-0.5，0.5]区间上的 Newton 插值 多项式和 Runge 函数的图像

从图中可以看出： 1）在[-0.5，0.5]区间 Newton 插值多项式和 Runge 函数的图像偏差较小，这说 明 Newton 插值多项式在此区间上可以较好的逼近 Runge 函数； 2）在边界（自变量 x=-1 和 x=1）附近，Newton 插值多项式和 Runge 函数的图像 偏差很大，Newton 插值多项式出现了剧烈的震荡。（Runge 现象） 2i? 1 (2)用节点 x ??cos( ?）（, i ? 0，1,2，? ? ? ，20），绘出它的 20 次 Lagrange

i 42 插值多项式的图像。

画出在[-1，1]区间上的 Lagrange 插值多项式和 Runge 函数的图像

从图中可以看出：

使用 Chebyshev 多项式零点构造的 Lagrange 插值多项式和 Runge 函数的图 像偏差较小，没有出现 Runge 现象。

(3)用等距节点 xi 的图像。

??-1 ??ih,h ??0.1,0 ??i ??20 绘出它的分段线性插值函数

画出在[-1，1]区间上分段线性插值函数和 Runge 函数的图像

从图中可以看出：

使用分段线性插值函数和 Runge 函数的图像偏差较小，也没有出现 Runge 现象，只在自变量 x=0 处有稍许偏差。 (4)用等距节点 xi 函数的图像。

??-1 ??ih,h ??0.1,0 ??i ??20 绘出它的三次自然样条插值

画出在[-1，1]区间上三次自然样条插值函数和 Runge 函数的图像

从图中可以看出：

使用三次自然样条插值函数和 Runge 函数的图像偏差较小，也没有出现 Runge 现象。

题目 2：对函数：

在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行 分析。 (1)用等距节点 xi 项式的图像。

??-1 ??ih,h ??0.1,0 ??i ??20 绘出它的 20 次 Newton 插值多

分别画出在[-1，1]区间，[-0.8，0.8]区间和[-0.6，0.6]区间上的 Newton 插值 多项

式和 Runge 函数的图像