泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012

1．在实数轴R上，令d(x,y)?|x?y|p，当p为何值时，R是度量

空间，p为何值时，R是赋范空间。

解：若R是度量空间，所以?x,y,z?R，必须有：

d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)成立

即|x?z|p?|x?y|p?|y?z|p，取x?1,y?0,z??1， 有2p?1p?1p?2，所以，p?1

若R是赋范空间，d(x,0)?||x||?|x|p，所以?x,k?R， 必须有：||kx||?|k|?||x||成立，即|kx|p?|k||x|p，p?1， 当p?1时，若R是度量空间，p?1时，若R是赋范空间。

2．若(X,d)是度量空间，则d1?min(d,1)，d2?为度量空间。

解：由于(X,d)是度量空间，所以?x,y,z?X有： 1）d(x,y)?0，因此d1(x,y)?min(d(x,y),1)?0

和d2(x,y)?且当x?y时d(x,y)?0，

d(x,y)1?d(x,y)d(x,y)1?d(x,y)?0

d1?d也是使X成

于是d1(x,y)?min(d(x,y),1)?0和d2(x,y)?以及若

?0

d1(x,y)?min(d(x,y),1)?0或d2(x,y)?d(x,y)1?d(x,y)?0

均有d(x,y)?0成立，于是x?y成立 2）d(y,x)?d(x,y)，

因此d1(y,x)?min(d(y,x),1)?min(d(x,y),1)?d1(x,y) 和d2(y,x)?d(y,x)1?d(y,x)?d(x,y)1?d(x,y)?d2(x,y)

3）d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)，因此

d1(x,z)?min(d(x,z),1)?min{d(x,y)?d(y,z),1} ?min(d(x,y),1)?min(d(y,z),1)?d1(x,y)?d1(y,z)

以及设f(x)?x1?x，f?(x)?1(1?x)2?0，所以f(x)单增，

所以d2(x,z)?d(x,z)1?d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)1?d(x,y)?d(y,z)d(y,z)

?d(x,y)1?d(x,y)?d(y,z)d(x,y)1?d(x,y)?1?d(x,y)?d(y,z)

??d(y,z)1?d(y,z)?d2(x,y)?d2(y,z)

d1?d综上所述d1?min(d,1)和d2?均满足度量空间的三条件，

故d1(x,y)和d2(x,y)均使X成为度量空间。

3．设H是内积空间，xn,x,yn,y?H，则当xn?x，yn?y时，

(xn,yn)?(x,y)，即内积关于两变元连续。

解：H是内积空间，设||?||是由其内积导出的范数，由于xn?x，

yn?y，

所以???0，?n0使得当n?n0时均有||xn?x||??和

||yn?y||??

同时由于yn?y，故知yn有界，x?H所以||x||有限。因此可取

M?sup(||x||,||yn||)

1?n??因此|(xn,yn)?(x,y)|?|(xn,yn)?(x,yn)?(x,yn)?(x,y)|

?|(xn,yn)?(x,yn)|?|(x,yn)?(x,y)|?|(xn?x,yn)|?|(x,yn?y)|

?||xn?x||?||yn||?||x||?||yn?y||?|M|xn?x||?M||yn?y||?2M?

故lim{(xn,yn)?(x,y)}?0，即(xn,yn)?(x,y)

n??

4．设X,Y是线性赋范空间，T:X?Y是线性算子，则T不是连续的，当且仅当?xn?X，使得xn?0，但||Txn||??

解：设T不是连续的，则T在X上的每一点x0都不是连续的，因此在点x0?0也不是连续的。则T在包含X上0点的任何有界邻域内

均无界，

取S1?O(0,)?X，则T在S1上无界，因此?x1?S1，

21使得||Tx1||?1成立。 取S2?O(0,122)?X，则T在S2上无界，因此?x2?S2，

使得||Tx2||?2成立。 类似地过程一直进行，直到 取Sn?O(0,12n)?X，则T在Sn上无界，因此?xn?Sn，

使得||Txn||?n成立。

因此，?xn?X，使得xn?0，但||Txn||??

另外，如果有xn?X，当xn?0，有||Txn||??

由于在Y上不能找到一点y?Y，使得||Ty||??，因此对所有的点y?Y，均无法使得||Ty||??成立，因此，在条件xn?0下，对于所有的点y?Y，||Txn||?Ty均不成立。所以T在X上的0点不是连续的，故T不是连续的。

pp5．对于每个有界序列(?n)，定义线性算子T:l?l，

(x1,x2,?)|?(?1x1,?2x2,?)

求||T||??

解：由于(?n)有界，所以有M?0，使得M?sup|?n|

n