(完整版)超松弛迭代法

对ω=1的GS法，由达到与SOR法的同样精度.

迭代次数

，故k≈34与实际计算结果相符.

讲解：

SOR迭代法只是GS法与归值的加权平均，计算公式为（7.3.2），迭代矩阵为（7.3.4），

对于

通常只是对A对称正定的方程组使用SOR法，而松弛因子ω选择较困难，一般选择

A为对称正定的三对角阵则最好最有因子迭代矩阵。此时SOR的迭代矩阵谱半径为

为，其中，注意不要具体求

为J法的

，更不要去计算

的特征值。如例7.8中所示，求得速度

.

，则，从而可以求得SOR迭代的收敛

【本章小结】

1.本章主要内容是用迭代法求解线性方程组，重点为J法，GS法和SOR迭代法，首先必须掌握各种迭代法的计算公式和迭代矩阵的表达式以及迭代法收敛的充分必要条件和充分条件，并用这些理论判别方程组Ax=b的收敛性，为此

（1）对所构造迭代法能写出具体的迭代矩阵B并利用

判别方法收敛性。

（2）对不满足充分条件的方程组或A带有参数的方程组判别收敛性通常要求迭代矩阵B的特征值及谱半径

，并由

＜1判别迭代法是否收敛。

（3）要掌握与迭代法相关的向量序列 及矩阵序列 的收敛性结论。 （4）利用迭代矩阵谱半径较各种迭代法收敛的快慢。

2．用J法，GS法和SOR法求解方程组Ax=b.

（1）对给定方程组写出3种迭代法的计算公式，并能正确求出方程组的解（n较大时可用计算机编程计算）。

（2）写出J法GS法的迭代矩阵并利用迭代矩阵范数和谱半径判别其收敛性。

，计算迭代法渐近收敛速度

,从而比

（3）对这3种方法首先要直接从方程的系数矩阵A判定是否严格对角占优或不可约弱对角占优或对称正定从而差别方程是否收敛。

（4）要特别关注A为三对角阵的方程组的三种迭代法及其判别收敛性，并且当A为对称正定的

三对角阵时用SOR法求解时能利用最优松弛参数 ，其中B为J法迭代矩阵，此

时