山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A试卷
说明：本次考
<本试卷共4页）
题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 试为开卷
考
试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相
互借用。
得分 阅卷人 一、简答题<本题满分16分，每小题8分）
1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<1）式，写出与<2）式的差别，并解释这个差别；
2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；
二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 得分 阅卷人 1、对于§5.1传染病的SIR模型，叙述当s0?1?时i(t)的变化情
况
并加以证明。 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E的减函数， 即c?a?bE,(a?0,b?0)，请问如何达到最大经济效益？
三、简答题<本题满分16分，每小题8分）
得分 阅卷人 1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s是方程I(x)?c0?I(S)的最小正根。
2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？
四、<本题满分20分）
得分 某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额：<1）按比例加惯例的方法;<2）Q 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想则分析分配结果。 五、<本题满分16分）
大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响
阅卷人
值法。另外如果校级优秀学 化准
得分 阅卷人 就
业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个
就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
1 / 4
选择就业岗位
35??1?11/41/7??，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为B??411/2?，
A??1/3121??????1??1/51/21???72?37?46??1?1?，B??1/412?。JhYEQB29bj B2??1/3133???????1/71/31???1/61/21??得分 阅卷人 请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。
六、<本题满分16分）
某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止<
退保）。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答 0.03 0.05 一、简答题<本题满分16分，每小题8分）
退保 死亡 0.15 0.07 m(m?1)?vt， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 1、 答：由<1）得2?mr?2??20.1 2健康 疾病 ??k2?knn?(2r??)， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 将m?kn代入得t?vv0.6
因为r???所以2r???2r，则得<2）。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2、答：假设每件产品的生产费用为c3，则平均每天的生产费用为c3r，每天的平均费用是
c1c2rT1??c3r， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 T12dC1(T1)dC(T)下面求T1使C1(T1)最小，发现，所以 ?dT1dT C1(T1)? T1?T?2c1，与生产费用无关，所以不考虑。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8c2r分
二、简答题<本题满分16分，每小题8分）
1di??i(?s?1),若s0?，
?dt1di?0,i(t)增加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 当?s?s0时，
?dt1di?0,i(t)达到最大值im； 当s?时，
?dt1、答：由<14）
2 / 4
当s?1?时，
di?0,i(t)减少且由1.知i??0 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8dt分
2、 答：S?(a?bE)E，则R?T?S?pEx?(a?bE)E， 。。。。。。。。。。。。。。2分 将x0?N(1?分
令R??0得ER?EpN2)代入，得 R(E)?(pN?a)E?(b?)E，。。。。。。。。。。。。。。5rrra?pN。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ?2rb?pN三、简答题<本题满分16分，每小题8分）
1、由于方程<4）左边随着S的增加单调递增，因此J(u)有唯一驻点u?S?x且为最小值点。从而
J(u)是下凸的。而由J(u)和I(x)的表达式的相似性知I(x)也是下凸的，而且在x?S处达最小值 I(S)。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分5Y944Acbad 记A?{xI(x)?c0?I(S)}， B?{xI(x)?c0?I(S)}则集合A与B的分界点即为订货点s，此
即方程I(x)?c0?I(S)的最小正根 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
5Y944Acbad 2、答：<回答要点）培养想象力和洞察
力。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分5Y944Acbad 四、<本题满分20分）
219316465?20?4.38，?20?6.32，?20?9.30因此比例加惯例1000100010002192?2398.05，分配结果为5、6、9个。<2）三方先分得4、6、9个，Q1?4?53162Q2??2377.525Y944Acbad 6?74652Q3??2402.5，Q3最大，按Q值法分配结果为4、6、10
9?10解：20个席位：<1）、
个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
219316465?21?4.599，?21?6.636，?21?9.765因此比例加惯例分配1000100010004652???195.68，Q1最大，按Q值法分结果为4、7、10个。<2）三方先分得4、6、10个， Q310?1121个席位：<1）
配结果为5、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分5Y944Acbad 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q值法分配结果是同时符合准则2.。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分5Y944Acbad 五、<本题满分16分） 解：用“和法”近似计算得：
T矩阵A对应的权向量为：(0.65,0.23,0.12)，最大特征根为3.003697，CI?0.0018，
1和准则
CR?0.0031
3 / 4
矩阵B1对应的权向量为：(0.08,0.32,0.60)T，最大特征根为3.001982，CI?0.001，
CR?0.0017
矩阵B2对应的权向量为：(0.67,0.24,0.09)T，最大特征根为3.00703，CI?0.0035，CR?0.006
矩阵B3对应的权向量为：(0.70,0.19,0.11)T，最大特征根为3.00922，CI?0.0046，CR?0.008
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。12分
组合权向量为(0.292628,0.283708,0.423664)T
因此最佳的岗位为岗位3。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分
5Y944Acbad 六、<本题满分16分）
000??1?0?100?，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸解：由题意，转移概率矩阵为??0.150.050.7.01???0.030.070.60.3??收状态，此为吸收链。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
5Y944Acbad ?1?1?2?0.3?0.1?4??= ?3??4??0.60.7??M?(I?Q)2?3? 2??11y?Me=(5,6)T，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过5或6年投保人就会出现退
33保或死亡的情况。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
5Y944Acbad ?0.720.28?F?MR=?，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为??0.660.34?0.72和0.28；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。
5Y944Acbad 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。18分
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