第3章中值定理与洛必达法则习题集及答案

第三章 习题一 中值定理与洛必达法则

一．选择题

1．下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） （A）f(x)?32x?12，[?1,1]； （B）f(x)?xe?x，[0,1]；

?x?2，x?1（C）f(x)??，[?1,1]； （D）f(x)?|x|，[?1,1]．

1，x?1?2．y?lnsinx在闭区间[,6?5?6]上满足罗尔定理的全部条件，则使定理结果成立

的??（ A ） （A）； （B）

?25?2??； （C）； （D）．

6363．函数f(x)?ln(1?x)在[0,e?1]上满足拉格朗日定理中的数值?是（ C ） （A）e； （B）e?1； （C）e?2； （D）1．

4．若函数f(x)在区间(a,b)内可导，x1和x2是区间(a,b)内的任意两点，且x1?x2，则至少存在一点?，使（ C ）

（A）f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，其中a???b； （B）f(b)?f(x1)?f?(?)(b?x1)，其中x1???b； （C）f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1)，其中x1???x2； （D）f(x2)?f(a)?f?(?)(x2?a)，其中a???x2． 5．能用洛必达法则求下列极限的是（ B ） （A）limx?14x?1x?lnx； （B）； lim2x???xlnxx?3x?41x?xe?ex； （D）lim（C）lim． x???ex?e?xx?0sinxx2sin

二．填空题

1．设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f?(x)?0恰有 2 个实根．

ln(1?3x2)lnxlim? 0 ． ?2．lim 0.5 ． 3．?x??ln(3?x4)x?0cotx1xx?21??11(tan)? e ． ?4．lim??? ． 5．lim?x?1lnx2x?1?2x??2?(sinx)6．xlim?0?01lnx?1? e ． 7．lim(cotx)sinx? 1 ．

x?0?0三．计算题

cscxcos3x(?)． 1．求limx?04x4xsinx1?cos3x1?cos3x3cos2xsinx?lim?lim解：原式?lim x?04xsinxx?0x?04x28x3sinx3?limcos2x?lim?． x?08x?0x8ex?sinx?12．求lim． x?0(arcsinx)2ex?sinx?1ex?cosxex?sinx1?lim?lim解：原式?lim?． 2x?0x?0x?02x2x23．求limx?0arctanx?sinx

x3解：原式

arctanx?xx?sinx?3x?0xx3arctanx?xx?sinx?lim?limx?0x?0x3x3y?tanyx?sinx?lim?limy?0tany3x?0x3

y?tanyx?sinx?lim?limy?0x?0y3x311???361??6?lime?e2?2cosx 4．求lim 4x?0xe解：原式?limx?02?2cosxx2ex2?2?2cosx?1x4

?limex?02?2cosx?limx?0ex2?2?2cosx?1x4x2?2?2cosx?1?limx?0x42x?2sinx?limx?04x321??461?12

5．若lim6?f(x)sin6x?xf(x)lim，求． ?023x?0x?0xxxx6x?xf(x)sin6x?xf(x)6x?sin6x解：?6?f2(x)? ??333xx而limsin6x?3xf(x)?0， x?0x1(6x)26x?sin6x1?cos6x6?6cos6xlim?2lim?lim?2lim22?36 322x?0x?0x?0x?0x3xxx?lim6?f(x)6x?sin6xsin6x?xf(x)lim?lim??36． x?0x?0x?0x2x3x3

6．设f??(a)存在，求lim1[f(a?x)?x?0f(a)xx?f?(a)]．

f(a?x)?f(a)?xf?(a)f?(a?x)?f?(a)1?lim?f??(a)． 解：原式?lim2x?0x?02x2x四．证明题

1．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?f(1)?0。求证：存在??(0,1)，使得f?(?)?f(?)?0。

证明：设F(x)?f(x)ex，则F(1)?F(0)?0。根据罗尔中值定理：存在??(0,1)，使得F'(?)?0，即f?(?)?f(?)?0。证毕

2．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?f(1)。求证：存在??(0,1)，使得f?(?)?f(?)。

证明：设F(x)?f(x)e?x，则F(1)?F(0)?f(0)。根据罗尔中值定理：存在??(0,1)，使得F'(?)?0，即f?(?)?f(?)?0。证毕

3．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?1，f(1)?。求证：存在??(0,1)，使得f?(?)??e??．

证：令F(x)?f(x)?e?x，则F(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，故存在??(0,1)，使得F?(?)?0，即 f?(?)?e???0，从而有f?(?)??e??．证毕． 4．设f是[a,b]上的正值可微函数．证明：存在??(a,b)，使得

lnf(b)f?(?)?(b?a)． f(a)f(?)1e1e

证：设F(x)?lnf(x)，则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，故存在

??(a,b)，使得F(b)?F(a)?F?(?)(b?a)，即lnf(b)?lnf(a)?f(b)f?(?)?(b?a)．证毕． f(a)f(?)f?(?)(b?a)，从而有f(?)ln

5．试用拉格朗日中值定理证明：在(0,??)上，有不等式ex?1?x成立． 证：任取x?(0,??)，f(x)?ex在[0,x]上满足拉格朗日中值定理条件．于是，

即ex?1?e?x．由于e??e0?1，得ex?1?x，???(0,x)，?f(x)?f(0)?f?(?)(x?0)，故有不等式ex?1?x成立．证毕．

6．设f(x)在[1,2]上连续、在(1,2)内可导，证明：???(1,2)，使得：

f(2)?f(1)??f?(?)?ln2．

证：?f(x)与lnx在[1,2]上连续、在(1,2)内可导，且在(1,2)内恒有(lnx)??0，根据柯西中值定理可知，???(1,2)，?f(2)?f(1)f?(?)?，即 1ln2?ln1?f(2)?f(1)??f?(?)?ln2．

证毕．

7．设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)。

（1）求证：存在??(a,b)，使得f(?)?g(?)。 （2）求证：存在??(a,b)，使得f''(?)?g''(?)。

（1）：若f(x),g(x)在同一点处取得最大值，则命题显然成立。以下不妨设它们在不同点处取得最大值，即f(x)在x?c取得最大值M，而g(x)在x?d取得最大值M。那么f(c)?g(c)?0,f(d)?g(d)?0。根据介值定理：存在??(a,b)，使得

f(?)?g(?)。

（2）设h(x)?f(x)?g(x)，则有h(a)?h(?)?h(b)?0。根据罗尔中值定理，存在

?1?(0,?),?2?(?,1)使得：h'(?1)?h'(?2)?0。再由罗尔中值定理：存在??(?1,?2)，

使得h''(?)?0，即f''(?)?g''(?)。

8．已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0,f(1)?1。证明： （1）存在c?(0,1)，使得f(c)?1?c。

（2）存在两个不同的点：?,??(0,1)，使得f'(?)f'(?)?1