2018-2019学年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 文科数学（二） 

三棱锥A?PBC的体积为：

11?11?VA?PBC?VP?ABC?SABC·PO????2?1??1?．···········12分

33?23?3x2y220．已知椭圆C1的方程为?椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为． ?1，

243（1）求椭圆C2的方程；

（2）如图，M、N分别为直线l与椭圆C1、C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y?kx(k?0)，求k的值．

x2y2【答案】（1）?（2）k?3． ?1；

416【解析】（1）椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4， ∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4．·········1分

2b?4??y2x2?2设椭圆C2的方程为2?2?1(a?b?0)，则有?b········2分 ?3?1，·ab????1??a22????x2y2∴a?4，b?2，∴椭圆C2的方程为?········5分 ?1．·

416（2）设M?x1,y1?，N?x2,y2?，

由△PON面积为△POM面积的2倍得ON?2OM， ∴x2?2x1．·········6分

?y?kx12?联立方程?x2y2，·········8分 ，消y得x??24k?3?1??43?∴x1?12．同样可求得x2?4k2?316．·········10分 4?k2

∴1612?2，解得k??3，·········11分 4?k24k2?3∵k?0，∴k?3．·········12分

21．已知函数f?x??lnx?ax2??2?a?x?a?R?． （1）讨论函数f?x?的单调性； （2）设g?x??x对任意的x0??0,2?，关于x的方程f?x??g?x0?在?0,e?有?2，xe3?2e． e2?e两个不同的实数根，求实数a的取值范围（其中e=2.71828...为自然对数的底数）． 【答案】（1）答案见解析；（2）?e?a??【解析】（1）f??x???2x?1??ax?1?x?0，·······1分 1?2ax??2?a????xx当a?0时，f??x??0在?0,???上恒成立，f?x?在?0,???单调递增；·····3分

11当a?0时，令f??x??0，解得0?x??，令f??x??0，解得x??，

aa1???1?此时f?x?在?0,??递增，在??,???递减．·······5分

a???a?（2）g?x??1?xx?，所以， gx??2??xxee当x????,1?时，g??x??0，g?x?单调递增， 当x??1,???时，g??x??0，g?x?单调递减，

1??∴x??0,2?时，g?x?的值域为??2,?2?，·······7分

e??当f?x??g?x0?，x??0,e?有两个不同的实数根，则a?0，

????且满足????f?f?e???210???e，·······9分

a?1?1?????2?a?e由f?e??1?ae2?2e?ea??2，∴a??3?2e①， 2e?e

又0??11?e，解得a??．② ae1?1??1?12?1?11由f????ln??????1??2，ln??????1，

e?a??a?aa?a?ae令h?x??lnx?x，知h?x?单调递增，

11?1?1而h????1，于是??时，解得?e?a?0，③

ae?e?e综上，?e?a??3?2e．·······12分 2e?e请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

?x?1?cos?22．直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?，曲线 （?为参数）

?y?sin?x2C2:?y2?1．

3（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （2）射线??π??≥0?与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求AB． 3【答案】（1）曲线C1的极坐标方程为??2cos?，曲线C2的极坐标方程为（2）AB??1??2??2?1?2sin2???3；

30?1． 5?x?1?cos?【解析】（1）曲线C1：? （?为参数）化为普通方程为x2?y2?2x，

y?sin??所以曲线C1的极坐标方程为??2cos?，···········3分 曲线C2的极坐标方程为?2?1?2sin2???3．···········5分 （2）射线??射线??ππ??≥0?与曲线C1的交点的极径为?1?2cos?1，···········7分 33π??π??≥0?与曲线C2的交点的极径满足?22?1?2sin2??3，

3?3?30，···········9分 5解得?2?

所以AB??1??2?30··········10分 ?1．·

523．选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?x?1．

（1）若f?x??m?1恒成立，求实数m的最大值；

（2）记（1）中m的最大值为M，正实数a，证明： a?b?2ab．b满足a2?b2?M，【答案】（1）2；（2）见解析．

??2x?1x≤0?【解析】由f?x???1········2分 0?x?1，·

?2x?1x≥1?得f?x?min?1，要使f?x?≥m?1恒成立，

只要1········5分 ≥m?1，即0≤m≤2，实数m的最大值为2；·（2）由（1）知a2?b2?2，又a2?b2≥2ab，故ab≤1，

?a?b?2?4a2b2?a2?b2?2ab?4a2b2?2?2ab?4a2b2??2?ab?1??2ab?1?，

2∵0?ab≤········101，∴?a?b??4a2b2??2?ab?1??2ab?1?≥0，∴a?b≥2ab．·分