5.无穷小量无穷大量

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第五节 无穷小量与无穷大量

)O(表示有界函数类1)一. 有界量： 存在上下界的变量称为有界量，记作O(1，?ff?M,?M 0?已知函数f(x)、如果?M?0使得g(x)在U0(x0)内有定义，

f(x)那么就称当x?x0?M，x?U0(x0)，

g(x)时

f(x)f(x)为有界量，记作?O(1),(x?x0)，亦可记作f(x)?O(g(x)),(x?x0)；特别，当g(x)?1g(x)g(x)时，记作f(x)?O(1),(x?x0)，读作当x?x0时f(x)为有界量，其中“?”的含义是“?” 例：1?cosx?O(x2),(x?x0)；x(2?sin)?O(x),(x?x0)

x2(1)，(x??)；在U0(0)内sin在U(?)内sinx?1，即sinx?O11?1，即sin?O(1)，(x?0)

xx? “有界量f(x)”与“f(x)有界”的区别：f(x)有界意味着?M?0，使得对于f的定义域内每一点

x，都有|f(x)|?M，这里“有界”与点无关；而有界量f(x)指的是在点x0的某去心邻域U0(x0)内

有界，是与点x0有关的，是一种“局部”的有界

? 此定义适合于limxn； limf(x)； limf(x)； limf(x)； limf(x)； limf(x)； limf(x)

n??x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?二. 无穷小量：以零为极限的变量称为无穷小量，记作o(1)，o(1)表示函数类?flimf?0?

已知函数f(x)在点x0的某去心邻域U0(x0)内有定义，如果limf(x)?0，那么就称当x?x0时f(x)为

x?x0无穷小量，记作：f(x)?o(1),(x?x0)，其中“?” 的含义是“?” 例：sinx?o(1)，(x?0)；1?cosx?o(1)，(x?0)；

1?x?o(1)，(x?1?)

1. 此定义适合于limxn； limf(x)； limf(x)； limf(x)； limf(x)； limf(x)； limf(x)

n??x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?2. 无穷小量的性质：

1) 有限个无穷小量之和、之差、之积仍为无穷小量

2) 有界量与无穷小量之积仍为无穷小量 例：limsinxxarctan?x?1??0 ； lim2x??x??x3x?x?1 2

3)

x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?A??0??f(x)?A??o(1),(x?x0)?f(x)?A?o(1),(x?x0)x?x0

3. 无穷小量的阶的比较：适合于limxn;limf(x);limf(x);limf(x);limf(x);limf(x);limf(x)

n??x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?x2xx2sinx2x2?0,lim2??,lim2?1,lim?1,lim2?2.这两个无穷小量之商是否仍为无穷小量？limx?0xx?0xx?0xx?0x?0xx说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛趋近于零的速度有快有慢。就上述例子而

言，这个“级别”的标志是x的“指数”，当x?0时，x的指数越大，它接近于０的速度越快。这样看来，当x?0时，x的收敛速度快于x的收敛速度。所以其变化结果以x为主。此时称当x?0时

22x2是比x高阶的无穷小量，或称当x?0时x是比x2低阶的无穷小量。

假设当x?x0时f(x)、g(x)均为无穷小量：

1) 如果limx?x0f(x)f(x)?0，即?o(1),(x?x0)，那么就称当x?x0时f(x)是比g(x)高阶的无穷g(x)g(x)小量，记作：f(x)?o(g(x)),(x?x0) 例：lim1?cosxx?limtan?0?1?cosx?o(sinx)，(x?0)

x?0x?0sinx2?

f(x)?o(g(x)),(x?x0)?f(x)f(x)?o(1),(x?x0)??O(1),(x?x0) g(x)g(x)? 如果f(x)?o(g(x)),(x?x0)，那么f(x)?og(x),(x?x0)

??2) 如果?K?0,L?0，使得K?阶的无穷小量

f(x)?L，x?U0(x0)，那么就称当x?x0时f(x)与g(x)是同g(x)? 如果当x?x0时f(x)与g(x)是同阶的无穷小量，那么

f(x)?O(1),(x?x0) g(x)? 如果limx?x0f(x)f(x)?A?0，那么当x?x0时f与g必是同阶的无穷小量；当lim不存在

x?x0g(x)g(x)x?0x?0时，f(x)与g(x)也可能是同阶的无穷小量，例如limx?limx(2?sin)?0，但是

1x 3

11x(2?sin)x(2?sin)x?3，所以当x?0时x与x(2?sin1)为同x不存在，然而1?limx?0xxx阶的无穷小量

3) 如果limx?x0f(x)?1，那么就称当x?x0时f(x)与g(x)是等价的无穷小量，记作：f(x)?g(x)，g(x)(x?x0)

x2例：当x?0时有：sinx?x；1?cosx?；arctanx?x；(1?x)??1??x；其中??0

2 ln(1?x)?x

当x?1时有： lnx?x?1

?

f(x)?g(x)，(x?x0)?f(x)?1?o(1)，(x?x0)?f(x)?g(x)?o(g(x))，(x?x0) g(x)? 等价量法则：已知函数f(x)、g(x)、h(x)在U0(x0)内有定义,且f(x)?g(x),(x?x0),则

1) 如果limf(x)h(x)存在，那么limg(x)h(x)也存在，且limg(x)h(x)?limf(x)h(x)

x?x0x?x0x?x0x?x02) 如果limx?x0h(x)h(x)h(x)h(x)?lim，那么lim也存在，且lim

x?x0g(x)x?x0g(x)x?x0f(x)f(x)例：limarctanxtanx?sinx ；lim

x?x0sin4xx?x0sinx3rrrr例：(a1x1?a2x2???akxk)?a1x1，(x?0) 其中0?r1?r2???rk,a1?0,ak?0 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代

综上：并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较，两个无穷小量f、g可比较的前提：商

f是有界量 g12例：limxsin?limx?0但是

x?0xx?0xsinx21x和

x21xsinx在x?0时均不是有界量，故不能进行阶的比较

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?以??为非正常极限的变量称为正无穷大量三. 无穷大量:以?为非正常极限的变量称为无穷大量?

?以??为非正常极限的变量称为负无穷大量1. 非正常极限：适合于limxn；limf(x)；limf(x)；limf(x)；limf(x)；limf(x)；limf(x)

n??x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?设函数f在点x0的某去心邻域U0(x0)内有定义，若?G?0，???0，使得当0?|x?x0|??时有

x?x0|f(x)|?G，则称当x?x0时函数f有非正常极限?，记作：limf(x)??或f(x)??(x?x0)

例：考虑f(x)?1，x?0 x设函数f在点x0的某去心邻域U0(x0)内有定义，若?G?0，???0，使得当0?|x?x0|??时有

x?x0f(x)?G，则称当x?x0时函数f有非正常极限??，记作：limf(x)???或f(x)???(x?x0)

例：考虑f(x)?1，x?0 x2设函数f在点x0的某去心邻域U0(x0)内有定义，若?G?0，???0，使得当0?|x?x0|??时有

x?x0f(x)??G，则称当x?x0时函数f有非正常极限??,记作：limf(x)???或f(x)???(x?x0)

例：考虑f(x)??1，x?0 x2设函数f在U(??)内有定义，若?G?0，?X?0，使得当x?X时有f(x)?G，则称当x??? 时函数f有非正常极限?，记作：limf(x)??或f(x)??(x???)

x????X?0，设函数f在U(??)内有定义，若?G?0，使得当x?X时有f(x)?G，则称当x??? 时

函数f有非正常极限??，记作：limf(x)???或f(x)???(x???)

x???设函数f在U(??)内有定义，若?G?0，?X?0，使得当x?X时有f(x)??G，则称当x??? 时函数f有非正常极限??，记作：limf(x)???或f(x)???(x???)

x???对于数列?xn?，若?G?0，?N?N?，使得当n?N时有|xn|?G，则称数列?xn?有非正常极限?，

n记作：limxn??或xn??(n??) 例：考虑数列(?1)n

n????对于数列?xn?，若?G?0，?N?N?，使得当n?N时有xn?G，则称数列?xn?有非正常极限??，记作：limxn???或xn???(n??) 例：考虑数列?n?

n??