§1.2 点、线、面之间的位置关系
1．2.1 平面的基本性质与推论
【学习要求】
1．理解平面的基本性质与推论．
2．能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题．
3．会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质． 【学法指导】
通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的基本性质及推论，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力. 填一填：知识要点、记下疑难点
1．连接两点的线中， 线段 最短；过两点有 一条 ，并且只有 一条 直线．
2．平面基本性质1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上的 所有点 都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或 平面经过直线 .
3．基本性质2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面．或简单说成： 不共线的 三点确定一个平面．
4．基本性质3：如果 不重合 的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 5．基本性质的推论：推论1 ：经过一条直线和 直线外的一点 ，有且只有一个平面； 推论2 ：经过两条 相交直线 ，有且只有一个平面； 推论3 ：经过两条 平行 直线，有且只有一个平面．
6．异面直线：既 不相交也不平行 的直线叫做异面直线．与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]
在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？ 探究点一 平面的基本性质
问题1 在初中我们学习的点与直线的基本性质有哪些？
答： 连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．
问题2 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？
答： 教室的地面，天花板，平静的海面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
问题3 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？
答： 基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．
问题4 直线和平面都可以看成点的集体，那么点、直线、平面的位置关系怎样用集合的符号表示？ 答： 点A在直线l上．记作A∈l； 点A在直线l外，记作A?l.
直线l在平面α内，或者平面α经过直线l，记作l?α； 否则，就说直线l在平面α外，记作l?α.
问题5 如何用符号语言表示基本性质1？基本性质1有怎样的用途？ 答： A∈l，B∈l，A∈α，B∈α?l?α；用途是判定直线是否在平面内．
问题6 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？
答： 基本性质2：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面． 问题7 如何用符号语言表示基本性质2？基本性质2有怎样的用途？
答： 符号表示为：A、B、C三点不共线?有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α. 基本性质2的用途是确定平面的依据．
问题8 基本性质2中“有且只有一个”的含义是什么？
答： “有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面．“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面．”
问题9 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？ 答： 能确定一个平面，因为点A与直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.
1 / 3
推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
问题10 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？
答： 能确定一个平面，因为直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
问题11 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？
答： 能确定一个平面，因为两条平行线中含有不共线的三点A，B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
问题12 回顾第1.1节的内容，我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？
答： 基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．
问题13 在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应该怎样处理才有立体感？ 答： 应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画． 探究点二 空间中两直线的位置关系
问题1 空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么两条直线有怎样的位置关系？ 答： 平行或者相交．
问题2 如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？
答： 不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内，点A就在α内，这与点A在α外矛盾．
由图知，直线l与直线AB没有公共点，所以它们不相交，直线l与直线AB不可能平行，
否则它们就会同在平面α内，所以直线l与直线AB既不相交也不平行． 小结： 我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．
例1 如图中的△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？ 解： ∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平面α内，又BC在平面α内， ∴ C点一定在平面α内，因点A、点C都在平面α内， 由基本性质1知，直线AC 在平面α内．
小结： 要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可． 跟踪训练1 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直 线相交，那么这四条直线共面．
已知： a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证： 直线a、b、c和l共面．
证明： 如图．∵a∥b，由推论3可知直线a与b确定一个平面，设为α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b.则A∈α，B∈α. 而A∈l，B∈l，∴由基本性质1可知l?α.
∵b∥c，由推论3可知直线b与c确定一个平面， 设为β，同理可知l?β.
∵平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，
∴由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面． ∴平面α与平面β重合，∴直线a、b、c和l共面．
例2 如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面BDC1交于O，AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线． 证明： ∵C1、O、M∈面BDC1， 又C1、O、M∈面A1ACC1，
由基本性质3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， ∴C1、O、M三点共线．
小结： 证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．
2 / 3
跟踪训练2 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，已知EF和GH相交于点M，求证：点B、D、M共线．
证明： 连接BD，则BD＝面ABD∩面BCD， ∵E∈AB，F∈AD，
∴EF?面ABD，又M∈EF， ∴M∈面ABD，①
同理可证HG?面CBD，M∈面BCD，② 由①②可得到M∈面ABD∩面BCD＝BD.
故点B、D、M在同一直线上(或者点B、D、M共线)． 练一练：当堂检测、目标达成落实处
1．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作 ( B ) A．M∈b∈β B．M∈b?β C．M?b?β D．M?b∈β 2．空间中可以确定一个平面的条件是 ( C ) A．两条直线 B．一点和一直线 C．一个三角形 D．三个点 3．“a、b为异面直线”是指：
①a∩b＝?，且a b；②a?面α，b?面β，且a∩b＝?； ③a?面α，b?面β，且α∩β＝?；④a?面α，b?面α； ⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立． 上述结论中，正确的是 ( D ) A．①④⑤正确 B．①③④正确 C．仅②④正确 D．仅①⑤正确
解析： ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线； ⑤等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线．故选D. 课堂小结：
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线。
3 / 3
相关推荐：
loading