2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第6讲 函数的单调性和答案

2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第6讲 函数的单调性和答案

第6讲 函数的单调性

1．理解函数的单调性及其几何意义．

2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．

3．能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

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知识梳理

1．函数的单调性的定义

给定区间D上的函数f(x)，若对于 任意的x1，x2 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜ f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于 任意的x1，x2 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) ＞ f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数． 2．函数的单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在某个区间D上是 增函数 或是 减函数 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 .如果函数是增函数，则称区间D为 增区间 ，如果函数是减函数，则称区间D为 减区间 .

3．单调函数的图象特征

增函数的图象是 上升 的(如图1)，减函数的图象是 下降 的(如图2)．

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图2

图

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1．单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0

f?x1?－f?x2?

>0f(x)在[a，b]上是 增函数 ；

x1－x2f?x1?－f?x2?

<0f(x)在[a，b]上是 减函数 .

x1－x2

2．判断单调性的常用结论

(1)若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)为 增(减) 函数． (2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 减(增) 函数．

(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为 增函数 ；若f(x)，g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为 减函数 .

(4)已知函数y＝f(x)，给定区间D，若对D内任意的x，f′(x)>0，则函数在区间D上单调 递增 ；若对D内任意的x，f′(x)<0，则函数在区间D上单调 递减 .

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热身练习

1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1

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A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2

xC．f(x)＝－ex D．f(x)＝ln(x＋1)

根据单调性的定义，满足条件的函数

f(x)在(0，＋∞)上为增函数，分别作出选项A，B，C，D的图象(如下图)，根据图象特征进行判断．

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