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(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
10i
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
3＋i
A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1)
10i10i?3－i?2
解析：选A.＝＝3i－i＝1＋3i.
3＋i?3＋i??3－i?
2．z是纯虚数的一个充要条件是( ) A．z＋z≠0 C．z·z≠0
B．z－z≠0 D.z＝－z(z≠0)
解析：选D.(1)设z＝bi(b≠0)，则z＝－bi，所以z＋z＝0，所以z＝－z. (2)设z＝a＋bi(z≠0)，则z＝a－bi，因为z＝－z，所以a－bi＝－(a＋bi)，即a＝0，又z≠0，所以b≠0，所以z是纯虚数，由(1)，(2)知z是纯虚数的一个充要条件是z＝－z(z≠0)．
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
→→信达
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1＋3i
4．复数等于( )
3－i
A．i B．－i C.3＋i D.3－i
1＋3i?1＋3i??3＋i?3＋i＋3i－3
解析：选A.＝＝＝i.
43－i?3－i??3＋i?
5．已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
22
②若(x－4)＋(x＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数． 其中正确的命题有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得
2??x－4＝0，?2解得x＝2，当x＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为?x＋3x＋2≠0，?
没有强调a，b∈R.
6．下列命题正确的是( )
2
A．若z∈C，则z＞0
B．若z1，z2∈C且z1－z2＞0，则z1＞z2 C．若a＞b，则2a＋i＞2b＋i D．虚数的共轭复数一定是虚数
解析：选D.对A，当z＝0或z为虚数时不成立，两复数不能比较大小，B、C不成立，故选D.
2－bi
7．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
1＋2i
2
A.2 B.
3
2C．－ D．2
3
2－bi?2－bi??1－2i?2－2b4＋b2－bi
解析：选C.因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与
1＋2i5551＋2i2－2b4＋b2
虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.
553
2
8．若z＝cosθ－isinθ，则使z＝－1的θ值可能是( )
π
A．0 B.
2
C．π D．2π
222
解析：选B.因为z＝(cosθ－isinθ)＝cos2θ－isin2θ，又z＝－1，所以??cos 2θ＝－1，π?再由选择项验证得θ＝. 2??sin 2θ＝0，
ai
9．已知复数(a∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，
1＋i
则a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(0,2) C．(－7，7) D．(－2,0)∪(0,2)
信达
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aiai?1－i?aaiai?aa?解析：选A.因为＝＝＋，所以复数(a∈R)对应的点为Z?，?.又1＋i2221＋i?22?
ai?a?2?a?2
复数(a∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为2的圆内(不包括边界)，则??＋??
1＋i?2??2?＜2，即－2＜a＜2.
10．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)对应向量的模为3，则的最大值是( ) A.3 2
3 31D. 2B.
2
2
2
2
yxC.3
yxπy点(0,0)连线的斜率，可知相切时最大，如图∠COP＝，∴＝k＝3.
3x解析：选C.由?x－2?＋y＝3，得(x－2)＋y＝3.∴可理解为圆上的点(x，y)与原
二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)
1－i?a b??4i xi?
11．定义运算??＝ad－bc，若复数x＝1＋i，y＝??，则y＝________.
?c d??2 x＋i?
解析：依题意，y＝4i(x＋i)－2xi
?1－i?2i2
＝4i＋2xi＝－4＋
1＋i
2＋2i
＝－4＋＝－4＋2＝－2.
1＋i
答案：－2
12．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是________． 解析：
2
2
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)＋(y－2)＝1，表示以(－2,2)
22
为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝?x－2?＋?y－2?表示圆上的点与定点(2,2)间的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.
答案：3
13．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹为________．
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，
22
|x＋1＋yi|＝?x＋1?＋y，
22|1＋iz|＝|1＋i(x＋yi)|＝?y－1?＋x，
2222
则?x＋1?＋y＝?y－1?＋x.
∴复数z＝x＋yi对应点(x，y)的轨迹为到点(－1,0)和(0,1)距离相等的直线．
信达
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答案：直线
14．已知z、ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝52，则ω＝________.
2＋i
解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
ki
则ω＝. ?2＋i??1＋3i?∵|ω|＝52，
∴k＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)
2
15．在复数集C内，方程2x－(5－i)x＋6＝0的解为________．
22
解析：设x＝a＋bi，a，b∈R，代入原方程整理得(2a－2b－5a＋6－b)＋(4ab＋a－5b)i
??2a－2b－5a＋6－b＝0，＝0，于是有?
??4ab＋a－5b＝0，
2
2
z
??a＝1
解得?
??b＝1
3
a＝，??2或?3
b＝－??2，
所以x＝1＋i
33
或x＝－i. 22
33
答案：x＝1＋i或x＝－i 22
三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
xy5
16．已知x、y∈R，且＋＝，求x、y的值．
1＋i1＋2i1＋3i
xy5x?1－i?y?1－2i?5?1－3i?解：＋＝可写成＋＝.
1＋i1＋2i1＋3i25105x(1－i)＋2y(1－2i)＝5－15i， (5x＋2y)－(5x＋4y)i＝5－15i. ???5x＋2y＝5，?x＝－1，?∴∴? ?5x＋4y＝15.?y＝5.??
x2?1?＋f(3i)＋f?1?＋f(4i)＋f?1?的
17．已知函数f(x)＝??3i??4i?2，求f(1)＋f(2i)＋f?1＋x?2i?????值．
1
22
x21?11x??1?解：f(1)＝＝1.f(1)＋f(2i)＋f??＋f(3i)＋2＝，f(x)＋f??＝2＋
1＋121?x?1＋x?2i?
1＋2
xf??＋f(4i)＋f??＝＋1＋1＋1＝. 3i4i
18．已知复数z满足|z|＝2，z的虚部是2. (1)求复数z；
22
(2)设z，z，z－z在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
22222
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－b＋2abi，由题意得a＋b＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
22
(2)当z＝1＋i时，z＝2i，z－z＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△
ABC＝1.
22
当z＝－1－i时，z＝2i，z－z＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
19．已知z＝1＋i，
信达
?1????1?1??2
72
2
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(1)设ω＝z＋3z－4，求ω；
2
z2＋az＋b(2)如果2＝1－i，求实数a，b的值．
z－z＋1
2
解：(1)ω＝(1＋i)＋3(1－i)－4＝1＋2i－1＋3－3i－4＝－1－i.
2
?1＋i?＋a?1＋i?＋b(2)由＝1－i， 2
?1＋i?－?1＋i?＋1得(2＋a)i＋a＋b＝1＋i， ???a＋b＝1，?a＝－1，?∴? ?2＋a＝1，?b＝2.??
3→→220．设O为坐标原点，已知向量OZ1，OZ2分别对应复数z1，z2，且z1＝－(10－a)i，
a＋5
2→→z2＝＋(2a－5)i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求OZ1·OZ2的值．
1－a解：依题意得z1＋z2为实数，
322
∵z1＋z2＝＋＋[(a－10)＋(2a－5)]i，
a＋51－aa＋2a－15＝0，??
∴?a＋5≠0，??1－a≠0.
∴a＝3.
2
3
此时z1＝－i，z2＝－1＋i，
8→?3?→
即OZ1＝?，－1?，OZ2＝(－1,1)．
?8?
11→→3
∴OZ1·OZ2＝×(－1)＋(－1)×1＝－.
88
信达
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