《线性代数》复习提纲

（2）求法 设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。 五、矩阵的特征值和特征向量

1．定义 对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。 2．特征值和特征向量的求解：

求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。 3．重要结论：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0； （2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值； （3）不同特征值对应的特征向量线性无关。 六、矩阵的相似

1．定义 对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。

2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：

9

求出所有特征值； 求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵： 方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。 七、二次型

1．定义 n元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。 2．二次型标准化：

配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。 3．二次型或对称矩阵的正定性： （1）定义（略）； （2）正定的充要条件：

10

①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0； ②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；

11