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§1.6 微积分基本定理
学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则?10(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？
1答案 由定积分的几何意义知，?10(2x＋1)dx＝2
×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故?(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)． 梳理 (1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)； ②结论：?baf(x)dx＝F(b)－F(a)；
③符号表示：?baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)． (2)常见的原函数与被积函数关系 ①?bacdx＝cx|ba(c为常数)．
②?baxn
dx＝
1
n＋1xn＋1?
??
ba(n≠－1)． ③?basin xdx＝－cos x|ba. ④?bacos xdx＝sin x|ba.
1
⑤?baxdx＝ln x|ba(b>a>0)．
⑥?baexdx＝ex|ba.
⑦?baax
dx＝
ax?
ln a??
ba(a>0且a≠1)． ⑧?abxdx＝
2
3x2?3??
ba(b>a>0)． 01
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知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 答
案
当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等． 梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则?baf(x)dx＝S上． (2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则?baf(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图③，则?baf(x)dx＝S上－S下．特别地，若S上＝S下，则?baf(x)dx＝0.
1．若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．(×)
2．微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(√)
3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(√)
类型一 求定积分
命题角度1 求简单函数的定积分 例1计算下列定积分． (1)?10(2x＋ex)dx；
?1?(2)?21?－3cos x?dx；
?x?
(3)
?π20(sinxx?cos)2dx;22
(4)?30(x－3)(x－4)dx.
考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)?10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10 ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
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?1?(2)?21?－3cos x?dx
?x?
＝(ln x－3sin x)|21
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
?xx?(3)∵?sin －cos ?2
22??
＝1－2sin cos ＝1－sin x， 22
x
x
∴
?π20πxx2(sin?cos)dx??2(1-sinx)dx022
π20?(x＋cosx)|
?ππ?π＝?＋cos ?－(0＋cos 0)＝－1.
2?2?2
(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴?30(x－3)(x－4)dx ＝?30(x2－7x＋12)dx
?1??7
＝?x3－x2＋12x??30
32????1?727＝?×33－×32＋12×3?－0＝.
22?3?
反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)． (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)． 跟踪训练1计算下列定积分．
?1?
(1)?21?x－x2＋?dx；
x??
(2)
?π20(cos2xx?sin2)dx22；
x)dx.
(3)?94x(1＋
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考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分
?1?
解 (1)?21?x－x2＋?dx
x???1??1
＝?x2－x3＋ln x??21
23???
?1??11?1
＝?×22－×23＋ln 2?－?－＋ln 1?
3?2??23?
5
＝ln 2－.
6
(2)
?π20(cos2xx?sin2)dx22
??cosxdx0π2＝sin x＝1. (3)?94x(1＋
x)dx
|π203?2212??x＋x??9＝?94(x＋x)dx＝?4 23???
33?22???2712211229＝?×＋2×9?－?×4＋2×4?＝.
?3??3?6
命题角度2 求分段函数的定积分
?2?x2，x≤0，f(x)dx;?例2(1)若f(x)＝?求?1
??cos x－1，x>0，
(2)计算定积分?21|3－2x|dx. 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分
π
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