1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为
11242??232??22222P(A)??0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。
(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。
111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。
解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用
Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则
P(A3)?P(Aab?Aac?Abc).显然P(Aa)P(Aab)?P(Aac)，P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。所以
P(A3)?121[P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?(a?b?c)?(a?b?c) 22?d?d（用例1.12的结果）
1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。
1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。
b个???解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，??b?1表示黑?黑白，
则样本空间??{?1，?2，?，?b?1}，并且P({?1})?a， a?bbabb?1aP({?2})????， P({?3})?，?，
a?ba?b?1a?ba?b?1a?b?2P({?i})?bb?1b?(i?2)a ?????a?ba?b?1a?b?(i?2)a?b?(i?1)b!a
(a?b)(a?b?1)?aP({?b?1})?甲取胜的概率为P({?1})+P({?3})+P({?5})+? 乙取胜的概率为P({?2})+P({?4})+P({?6})+?
1.21 设事件A,B及A?B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，
P(AB)，P(AB)
解 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)得
P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r
P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?q ，P(AB)?r?p P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r 1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);
(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2). 证
明
(1)
P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)
(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A) 证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)
?P(AB)?P(AC)?P(BC)
1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：
(1)只订甲报的；
(2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。
解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。
(1) P(ABC)?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% (2) P(ABC)?P(AB?ABC)?7%
(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23% P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20% P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14% (5) P(A?B?C)?90%
(6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10%
1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？
解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(?Ai)。
i?1N?N?1?P(Ai)????N?NnN?2?，??，?N?N?，P(AiAj)??P(A1?AN)??????N?nnn?N??0
?N??N?1?1?1?N??N?1????P(Ai)???????(?1)??? ???i?1?1??N??1??N??N??N?2?2?1?N??N?2????P(AiAj)??????(?1)????，?? ?2?N??2N?1?i?N???????nnn?N?i?所以P(?Ai)??(?1)i?1??
N??i?1i?1NNn1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？
解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2?anin，当且仅当1,2,?,n的排列(i1i2?in)中存在k使ik?k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik?k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则
P(Ai)?N(n?2)!(n?1)!(1?i?j?n)，?? 1?i?n P(AiAj)?n!n!ni?1?n?(n?i)!ni?11?所以P(?Ai)??(?1)? ?(?1)??i?n!i!i?1i?1i?1??1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩
的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：
??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}
其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则
P(B|A)?P(AB)6/86?? P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产
?m??m??M?m???2?????1????1?? 品都是不合格品”，则 ??????P(A)?P(B)??M???2?????m???2???? ?M???2????P(B|A)?m?1P(AB)P(B)??
2M?m?1P(A)P(A)(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一
件合格品，一件不合格品”。则
?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2?????m??M?m???1????1???????M???2????
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